Determine o volume do sólido contido no primeiro octante limitado por z=9-y^{2} e pelo plano x=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja, x\ge0, y\ge0, z\ge0), limitado pela superfície
z = 9 - y^{2}
e pelo plano
x = 2.
O método é usar integração dupla em coordenadas cartesianas projetando o sólido no plano xy.

Passo 2

Para z\ge0 temos 9 - y^{2}\ge0, isto é, 0\le y\le3. No primeiro octante também 0\le x\le2. Logo o volume é
V = \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} \bigl(9 - y^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Calcular a integral em y:
\int_{0}^{3} \bigl(9 - y^{2}\bigr)\,dy = \left[\,9y - \frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = \bigl(27 - 9\bigr) = 18.

Passo 4

Agora integrar em x:
V = \int_{0}^{2} 18\,dx = 18x\Big|_{0}^{2} = 36.

Resposta

O volume do sólido é 36 unidades cúbicas.

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