Uma piscina tem formato circular de raio 3 m e profundidade variando linearmente de sul a norte, sendo que no extremo sul é de 1 m e no extremo norte é de 2 m . Calcule o volume da piscina.
Passo 1
O enunciado descreve uma piscina cuja base é um disco de raio
m e cuja profundidade varia de forma linear ao longo do eixo sul–norte, sendo
m no extremo sul e
m no extremo norte. O conteúdo aqui é volume de um sólido com base plana e “altura” variável, e vamos usar uma integral dupla sobre o disco para calcular o volume.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas cartesianas com o centro do disco na origem
. Tomamos o eixo
apontando para o norte, de modo que o disco é
A área de
vale
Passo 3
A profundidade
varia linearmente de
m em
até
m em
. Logo, em qualquer
,
Passo 4
O volume da piscina é dado por
Passo 5
Substituindo
:
Note que
e, por simetria do disco em relação ao eixo ,
.
Assim,
e, por simetria do disco em relação ao eixo
Assim,
Passo 6
Agrupando os resultados: