Uma piscina tem formato circular de raio 3 m e profundidade variando linearmente de sul a norte, sendo que no extremo sul é de 1 m e no extremo norte é de 2 m . Calcule o volume da piscina.

Passo 1

O enunciado descreve uma piscina cuja base é um disco de raio 3 m e cuja profundidade varia de forma linear ao longo do eixo sul–norte, sendo 1 m no extremo sul e 2 m no extremo norte. O conteúdo aqui é volume de um sólido com base plana e “altura” variável, e vamos usar uma integral dupla sobre o disco para calcular o volume.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas cartesianas com o centro do disco na origem (0,0). Tomamos o eixo y apontando para o norte, de modo que o disco é
D = \{(x,y)\mid x^2 + y^2 \le 3^2\}.
A área de D vale
\text{Área}(D) = \pi \cdot 3^2 = 9\pi.Á

Passo 3

A profundidade h varia linearmente de 1 m em y=-3 até 2 m em y=3. Logo, em qualquer y\in[-3,3],
h(y) = 1 + \frac{y - (-3)}{6}\,(2-1) = 1 + \frac{y + 3}{6}.

Passo 4

O volume da piscina é dado por
V = \iint_{D} h(y)\,dA.

Passo 5

Substituindo h(y):
V = \iint_{D} \Bigl(1 + \frac{y+3}{6}\Bigr)\,dA = \iint_{D}1\,dA + \frac{1}{6}\iint_{D}(y+3)\,dA.
Note que \iint_{D}1\,dA = \text{Área}(D) = 9\piÁ
e, por simetria do disco em relação ao eixo x, \iint_{D}y\,dA = 0.
Assim,
\iint_{D}(y+3)\,dA = \iint_{D}y\,dA + 3\iint_{D}1\,dA = 0 + 3\cdot 9\pi = 27\pi.

Passo 6

Agrupando os resultados:
V = 9\pi + \frac{1}{6}\cdot 27\pi = 9\pi + \frac{27\pi}{6} = 9\pi + \tfrac{27}{6}\pi = 9\pi + \tfrac{9}{2}\pi = \tfrac{18\pi + 9\pi}{2} = \tfrac{27}{2}\pi.

Resposta

V = \frac{27}{2}\,\pi\\ \text{m}^3.

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