Ache a área total entre a curva
e o eixo
no intervalo
. Faça um esboço da região.
Passo 1
O enunciado pede a área total entre a curva
e o eixo
no intervalo
. Para isso vamos usar o conceito de área sob a curva via integrais definidas, levando em conta que devemos integrar o valor absoluto de
. Precisamos encontrar os pontos em que a curva corta o eixo
e determinar o sinal de
em cada subintervalo de
.
Passo 2
Encontramos os pontos de interseção resolvendo
logo as raízes são
e
.
Passo 3
Determinamos o sinal de
em cada subintervalo:
- Para
, escolhemos : , então . - Para
, escolhemos : , então . - Para
, escolhemos : , então .
Passo 4
O antiderivado de
é
Na parte onde
, a área é
Calculando
logo
Passo 5
Na parte onde
, a integral dá um valor negativo, mas tomamos o módulo para a área:
Calculamos
e já temos
, então
A área positiva é
Passo 6
Na parte onde
novamente, de
a
:
Calculamos
e já temos
, logo
Passo 7
Esboço qualitativo da região: a parábola abre para cima, corta o eixo
em
e
. Entre
e
a curva está acima do eixo, entre
e
está abaixo, e de
a
volta a ficar acima. Sombreamos as três “fatias” correspondentes.
Passo 8
Somamos as áreas absolutas dos três pedaços:
Resposta
A área total é
.