Ache a área total entre a curva y=x^2-3 x-10 e o eixo x no intervalo [-3,8]. Faça um esboço da região.

Passo 1

O enunciado pede a área total entre a curva y = x^2 - 3x - 10 e o eixo x no intervalo [-3,8]. Para isso vamos usar o conceito de área sob a curva via integrais definidas, levando em conta que devemos integrar o valor absoluto de y. Precisamos encontrar os pontos em que a curva corta o eixo x e determinar o sinal de y em cada subintervalo de [-3,8].

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
x^2-3x-10=0Longrightarrow x=3pmraiz9+402=3pm72,
logo as raízes são x=-2 e x=5.

Passo 3

Determinamos o sinal de y em cada subintervalo:
  • Para xin[-3,-2], escolhemos x=-3: y(-3)=9+9-10=8>0, então y>0.
  • Para xin[-2,5], escolhemos x=0: y(0)=-10<0, então y<0.
  • Para xin[5,8], escolhemos x=6: y(6)=36-18-10=8>0, então y>0.

Passo 4

O antiderivado de f(x)=x^2-3x-10 é
F(x)=integral(x^2-3x-10),dx=x^33-3x^22-10x
Na parte onde y>=0, a área é
A1=integral-3^-2 (x^2-3x-10),dx =F(-2)-F(-3)
Calculando
F(-2)=(-2)^33-3(-2)^22-10(-2) =-83-6+20=343,
F(-3)=(-3)^33-3(-3)^22-10(-3) =-9-272+30=152,
logo
A1=343-152=236

Passo 5

Na parte onde y<=0, a integral dá um valor negativo, mas tomamos o módulo para a área:
integral-2^5(x^2-3x-10),dx =F(5)-F(-2)
Calculamos
F(5)=1253-752-50=-2756,
e já temos F(-2)=tfrac343, então
integral-2^5f(x),dx =-3436
A área positiva é
A2=-l(-3436r)=3436

Passo 6

Na parte onde y>=0 novamente, de 5 a 8:
A3=integral5^8(x^2-3x-10),dx =F(8)-F(5)
Calculamos
F(8)=5123-96-80=-163,
e já temos F(5)=-tfrac2756, logo
A3=-163-l(-2756r) =2436=812

Passo 7

Esboço qualitativo da região: a parábola abre para cima, corta o eixo x em (-2,0) e (5,0). Entre -3 e -2 a curva está acima do eixo, entre -2 e 5 está abaixo, e de 5 a 8 volta a ficar acima. Sombreamos as três “fatias” correspondentes.

Passo 8

Somamos as áreas absolutas dos três pedaços:
Atotal =A1+A2+A3 =236+3436+2436 =6096 =2032

Resposta

A área total é 2032.

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