Considere a região D do plano no primeiro quadrante limitada pelas curvas y=raiz2 x e y=x.
Escreva a integral dupla do item (b) mudando a ordem de integração.

Passo 1

O enunciado dá a região D no primeiro quadrante limitada pelas curvas
y = raiz2x e y = x
e pede para reescrever a integral dupla do item (b) trocando a ordem de integração. O que precisamos é identificar o “recorte” de D em termos de x primeiro (original) e depois em termos de y.

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção de
y = x e y = raiz2x
Igualando x = raiz2x e elevando ao quadrado, vem
x^2 = 2x ;Longrightarrow; x(x-2)=0 ;Longrightarrow; x=0 ou x=2
Logo, as curvas se cruzam em (0,0) e (2,2).

Passo 3

Se a integral original (item b) estava escrita como
integralx=0^2!integraly=x^raiz2x f(x,y),dy,dx,
isso significa que, para cada xin[0,2], y vai de y=x até y=raiz2x.

Passo 4

Para inverter a ordem, fixamos um valor de y. Observamos que y em D varia de 0 (na origem) até 2 (na interseção). Para cada yin[0,2], o x correspondente fica entre as curvas invertidas:
y = raiz2x;Longrightarrow; x = y^22 e y = x;Longrightarrow; x = y
Dessa forma, para cada y, tem-se
y^22;<=;x;<=;y

Passo 5

Substituindo esses limites na integral, a ordem trocada fica
integraly=0^2!integralx=y^22^y f(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^2integraly^22^y f(x,y),dx,dy

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