Considere a região
do plano no primeiro quadrante limitada pelas curvas
e
.
Escreva a integral dupla do item (b) mudando a ordem de integração.
Escreva a integral dupla do item (b) mudando a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado dá a região
no primeiro quadrante limitada pelas curvas
e pede para reescrever a integral dupla do item (b) trocando a ordem de integração. O que precisamos é identificar o “recorte” de
em termos de
primeiro (original) e depois em termos de
.
Passo 2
Primeiro encontramos os pontos de interseção de
Igualando
e elevando ao quadrado, vem
Logo, as curvas se cruzam em
e
.
Passo 3
Se a integral original (item b) estava escrita como
isso significa que, para cada
,
vai de
até
.
Passo 4
Para inverter a ordem, fixamos um valor de
. Observamos que
em
varia de
(na origem) até
(na interseção). Para cada
, o
correspondente fica entre as curvas invertidas:
Dessa forma, para cada
, tem-se
Passo 5
Substituindo esses limites na integral, a ordem trocada fica