Considere a função [f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) definida por:
Verifique se .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função f(x) é contínua em x = 0 . Vamos trabalhar com o conteúdo de continuidade de funções. Para isso, vamos precisar entender os limites da função quando x se aproxima de 0 pela direita ( x to 0^+ ) e pela esquerda ( x to 0^- ), além do valor da função em x = 0 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f(x) é contínua em x = a se três condições forem verdadeiras:
  1. f(a) está definida.
  2. O limite de f(x) quando x se aproxima de a existe.
  3. O limite de f(x) quando x se aproxima de a é igual a f(a) .
No nosso caso, a = 0 .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: f(0) está definida? Olhando a definição da função:
f(0) = 12
Sim, o valor da função em x = 0 está definido e é igual a 12 .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 0 pela direita ( x to 0^+ ). Para x > 0 , a função é dada por:
f(x) = 1 - raiz1 - xx
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador por 1 + raiz1 - x :
f(x) = (1 - raiz1 - x)(1 + raiz1 - x)x(1 + raiz1 - x) = 1 - (1 - x)x(1 + raiz1 - x) = xx(1 + raiz1 - x) = 11 + raiz1 - x
Agora, ao substituir x por 0:
limx to 0^+ f(x) = 11 + raiz1 - 0 = 11 + 1 = 12

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 0 pela esquerda ( x to 0^- ). Para x < 0 , a função é:
f(x) = 1 - e^x2x
Vamos lembrar que sabemos que:
limx to 0 e^x - 1x = 1
Então, podemos reescrever nosso limite da seguinte forma:
limx to 0^- f(x) = 1 - e^x2x = -(e^x - 1)2x = -12 cdot limx to 0^- e^x - 1x = -12 cdot 1 = -12

Passo 6

Agora, vamos comparar os limites que encontramos com o valor da função em x = 0 :
limx to 0^+ f(x) = 12, limx to 0^- f(x) = -12, f(0) = 12
Para a função ser contínua em x = 0 , os limites laterais precisam ser iguais e também iguais a f(0) .

Passo 7

Observamos que:
limx to 0^+ f(x) = 12 e limx to 0^- f(x) = -12
Esses limites não são iguais entre si, então já sabemos que a função não é contínua em x = 0 .

Resposta

A função f(x) não é contínua em x = 0 , porque os limites laterais não são iguais.

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