Mostre que:
utilizando o Teorema do Confronto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para mostrar que quando
vai para o infinito, a fração
tende a zero. A matéria que vamos usar para resolver isso é o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Aperto. Esse teorema é super útil para encontrar limites, especialmente quando a função que a gente quer analisar é meio complicada. Vamos precisar entender um pouco sobre como a função seno se comporta e como aplicar o Teorema do Confronto nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar algumas coisas sobre a função seno. Sabemos que para qualquer valor de
, o seno está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
Isso é uma propriedade básica da função seno e é crucial para aplicar o Teorema do Confronto.
Passo 3
Agora, vamos dividir tudo por
, que é positivo e está indo para o infinito. Como
é positivo, a desigualdade se mantém na mesma direção:
Isso nos dá uma “faixa” onde
está preso.
Passo 4
O próximo passo é observar o comportamento das duas extremidades dessa faixa quando
tende para o infinito. Vamos calcular os limites de
e
quando
vai para
:
Ambos os limites são iguais a zero.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então essa função também tem esse limite. No nosso caso,
está entre
e
, e ambos os limites são zero. Portanto, pelo Teorema do Confronto:
Resposta
Portanto, mostramos que: