Mostre que:
lim x +infty sin xx=0
utilizando o Teorema do Confronto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para mostrar que quando x vai para o infinito, a fração sin xx tende a zero. A matéria que vamos usar para resolver isso é o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Aperto. Esse teorema é super útil para encontrar limites, especialmente quando a função que a gente quer analisar é meio complicada. Vamos precisar entender um pouco sobre como a função seno se comporta e como aplicar o Teorema do Confronto nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar algumas coisas sobre a função seno. Sabemos que para qualquer valor de x , o seno está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
-1 <= sin x <= 1
Isso é uma propriedade básica da função seno e é crucial para aplicar o Teorema do Confronto.

Passo 3

Agora, vamos dividir tudo por x , que é positivo e está indo para o infinito. Como x é positivo, a desigualdade se mantém na mesma direção:
-1x <= sin xx <= 1x
Isso nos dá uma “faixa” onde sin xx está preso.

Passo 4

O próximo passo é observar o comportamento das duas extremidades dessa faixa quando x tende para o infinito. Vamos calcular os limites de -1x e 1x quando x vai para +infty :
limx to +infty -1x = 0
limx to +infty 1x = 0
Ambos os limites são iguais a zero.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então essa função também tem esse limite. No nosso caso, sin xx está entre -1x e 1x , e ambos os limites são zero. Portanto, pelo Teorema do Confronto:
limx to +infty sin xx = 0

Resposta

Portanto, mostramos que:
limx +infty sin xx = 0

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