Calcule a integral definida:
integral-3 pi4^pi4 sen x cos x d x

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral definida de sen x cos x no intervalo de x = -3pi4 até x = pi4. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente de integrais envolvendo funções trigonométricas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral: integral sen x cos x , dx. Para simplificar, podemos usar uma substituição. Vamos definir u = sen x. Aí, derivando u em relação a x, temos du/dx = cos x, ou seja, du = cos x , dx. Com isso, nossa integral fica mais fácil de resolver.

Passo 3

Substituindo na integral, temos: integral u , du. Essa é uma integral básica de u em relação a u. Integrando, obtemos u^22 + C, onde C é a constante de integração. Mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos nos preocupar apenas com a parte u^22.

Passo 4

Agora, vamos voltar para a variável original. Como u = sen x, substituímos de volta na expressão integrada: (sen x)^22. Então, nossa integral definida fica:
[ (sen x)^22 ]-3pi4^pi4

Passo 5

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
  1. Para x = pi4:
    sen(pi4) = raiz22
    Então, (raiz22)^22 = 242 = 14
  2. Para x = -3pi4:
    sen(-3pi4) = -raiz22
    Então, (-raiz22)^22 = 242 = 14
Agora, subtraímos os valores:
14 - 14 = 0

Resposta

O valor da integral definida é 0.

Exercícios relacionados