Calcule a integral definida:
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular a integral definida de
no intervalo de
até
. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente de integrais envolvendo funções trigonométricas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a integral:
. Para simplificar, podemos usar uma substituição. Vamos definir
. Aí, derivando
em relação a
, temos
, ou seja,
. Com isso, nossa integral fica mais fácil de resolver.
Passo 3
Substituindo na integral, temos:
. Essa é uma integral básica de
em relação a
. Integrando, obtemos
, onde
é a constante de integração. Mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos nos preocupar apenas com a parte
.
Passo 4
Agora, vamos voltar para a variável original. Como
, substituímos de volta na expressão integrada:
. Então, nossa integral definida fica:
Passo 5
Vamos calcular os valores nos limites de integração:
-
Para
:
Então, -
Para
:
Então,
Agora, subtraímos os valores:
Resposta
O valor da integral definida é
.