Ache as áreas das seguintes regiões D usando integrais duplas.
r=cos (2 theta), primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede a área da região D descrita em coordenadas polares por r=cos(2θ), restrita ao primeiro quadrante. O conteúdo é cálculo de áreas com integrais duplas em coordenadas polares, e vamos usar a fórmula da área em polares A=integral duplaD dA=integral duplaD r,dr,dθ.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração em θ, observamos que precisamos de cos(2θ)≥0. Sabemos que cos(2θ)≥0 quando 2θin[-tfracpi2,tfracpi2], isto é, θin[-tfracpi4,tfracpi4]. Mas como estamos no primeiro quadrante, ficamos com
0<= θ<= tfracpi4, 0<= r<= cos(2θ)

Passo 3

Montamos a integral de área em polares:
A=integralθ=0^pi/4integralr=0^cos(2θ)r,dr,dθ

Passo 4

Agora calculamos passo a passo. Primeiro a integral interna em r:
integral0^cos(2θ)r,dr=tfrac12cos^2(2θ)

Passo 5

Isso leva a
A=12integral0^pi/4cos^2(2θ),dθ

Passo 6

Usamos a identidade de ângulo duplo:
cos^2(2θ)=1+cos(4θ)2

Passo 7

Logo
A=12integral0^pi/41+cos(4θ)2,dθ=14integral0^pi/4(1+cos(4θ)),dθ

Passo 8

Integrando:
A=14l[θ+sin(4θ)4r]0^pi/4=14cdotpi4=pi16

Resposta

pi16

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