Ache as áreas das seguintes regiões
usando integrais duplas.
, primeiro quadrante.
Passo 1
O enunciado pede a área da região D descrita em coordenadas polares por r=cos(2θ), restrita ao primeiro quadrante. O conteúdo é cálculo de áreas com integrais duplas em coordenadas polares, e vamos usar a fórmula da área em polares
.
Passo 2
Para encontrar os limites de integração em θ, observamos que precisamos de cos(2θ)≥0. Sabemos que cos(2θ)≥0 quando
, isto é,
. Mas como estamos no primeiro quadrante, ficamos com
Passo 3
Montamos a integral de área em polares:
Passo 4
Agora calculamos passo a passo. Primeiro a integral interna em r:
Passo 5
Isso leva a
Passo 6
Usamos a identidade de ângulo duplo:
Passo 7
Logo
Passo 8
Integrando: