Calcular o volume do conjunto
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Passo 1
A questão pede para encontrar o volume do conjunto A no espaço tridimensional, dado por 0≤x≤1, 0≤y≤1 e 0≤z≤√(x y). O conteúdo aqui é cálculo de volume via integral tripla e vamos precisar usar a definição de volume como ∭_A dV e a técnica de Fubini para trocar a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro modelamos o volume como integral tripla. Como as variáveis são independentes nos limites, escrevemos
Passo 3
Agora calculamos as integrais começando por z. Integrando em z de 0 até √(x y) temos
Logo o volume fica
Passo 4
Observando que √(xy)=√x·√y, separamos as integrais:
Sabemos que
Então
Passo 5
Portanto, o volume do conjunto A é 4/9.