Calcular o volume do conjunto .

Passo 1

A questão pede para encontrar o volume do conjunto A no espaço tridimensional, dado por 0≤x≤1, 0≤y≤1 e 0≤z≤√(x y). O conteúdo aqui é cálculo de volume via integral tripla e vamos precisar usar a definição de volume como ∭_A dV e a técnica de Fubini para trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro modelamos o volume como integral tripla. Como as variáveis são independentes nos limites, escrevemos
V=integral triplaA dV=integralx=0^1integraly=0^1integralz=0^raizx ydz,dy,dx

Passo 3

Agora calculamos as integrais começando por z. Integrando em z de 0 até √(x y) temos
integral0^raizx ydz=raizx y
Logo o volume fica
V=integral0^1integral0^1raizx y,dy,dx

Passo 4

Observando que √(xy)=√x·√y, separamos as integrais:
V=integral0^1raizxl(integral0^1raizy,dyr)dx
Sabemos que
integral0^1raizy,dy=integral0^1y^1/2dy=23
Então
V=23integral0^1raizx,dx=23cdot 23=49

Passo 5

Portanto, o volume do conjunto A é 4/9.

Resposta

dfrac49

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