Inverter a ordem de integraûÏûÈo nas integrais seguintes
integral0^1(integrale^y-1^e^y f(x, y) d x) d y.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
Temos
integral0^1l(integrale^y-1^e^yf(x,y),dxr)dy
Conteúdo: troca de ordem em integrais duplas, usando a descrição geométrica da região de integração.

Passo 2

Primeiro, identifique a região D em coordenadas (x,y):
D = { (x,y) | 0 \le y \le 1 e e^{y-1} \le x \le e^y }.
Aplicando ln em e^{y-1} \le x \le e^y obtemos
y - 1 <= ln x <= y
ou seja
ln x <= y <= ln x + 1 .

Passo 3

Agora projetamos D no eixo x para achar os limites de x. As extremidades ocorrem em y=0 e y=1:
x_{min} = e^{0-1} = e^{-1},
x_{max} = e^{1} = e.
Logo x varia em [e^{-1},e].

Passo 4

Para cada x fixo em [e^{-1},e], y satisfaz
ln x <= y <= ln x + 1
Mas também precisamos manter 0 \le y \le 1. Isso gera dois subcasos:
  • Se x \in [e^{-1},1]: então ln x \le 0 e ln x+1 \le 1. Assim y varia de 0 até ln x + 1.
  • Se x \in [1,e]: então ln x \ge 0 e ln x + 1 \ge 1. Assim y varia de ln x até 1.

Passo 5

Finalmente, escrevemos a integral com ordem trocada como soma de duas integrais em x e y:
integrale^-1^1l(integral0^1+ln xf(x,y),dyr)dx +integral1^el(integralln x^1f(x,y),dyr)dx

Resposta

integrale^-1^1(integral0^1+ln xf(x,y),dy)dx+integral1^e(integralln x^1f(x,y),dy)dx

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