Inverter a ordem de integraûÏûÈo nas integrais seguintes
integral-1^0(integral-x^raiz2-x^2 f(x, y) d y) d x;

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada integral-1^0l(integral-x^raiz2-x^2f(x,y),dyr),dx e pede para inverter a ordem de integração. O conteúdo aqui é geometria de domínio de integração no plano (x,y) e precisamos descrever a região D associada.

Passo 2

O domínio de integração D é dado por
$$
D={(x,y):-1\le x\le 0,;-x\le y\le \sqrt{2-x^2}}\n$$
que equivale a estar entre a reta D=(x,y):-1<= x<= 0,;-x<= y<= raiz2-x^2n e o semicírculo y=-x para y=raiz2-x^2 de x a -1.

Passo 3

Para inverter, primeiro projetamos D no eixo y. Como para todo xin[-1,0] temos -x>=0 e raiz2-x^2>=1, conclui-se que
ymin=0, ymax=raiz2

Passo 4

Em seguida, para cada valor fixo de yin[0,raiz2] determinamos o intervalo de x. As condições são
-1<= x<=0, x>= -y, x^2+y^2<=2
O limite inferior de x é então max-1,-y,-raiz2-y^2.

Passo 5

Há dois regimes, porque -y=-raiz2-y^2 ocorre quando y=1:
  • Para 0<= y<=1, tem-se -y>=-1 e -y>=-raiz2-y^2, logo x vai de -y até 0.
  • Para 1<= y<=raiz2, tem-se -raiz2-y^2>=-1 e -raiz2-y^2>= -y, logo x vai de -raiz2-y^2 até 0.
    Assim obtemos a integral com ordem trocada.

Resposta

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