Inverter a ordem de integraûÏûÈo nas integrais seguintes
;
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
e pede para inverter a ordem de integração. O conteúdo aqui é geometria de domínio de integração no plano
e precisamos descrever a região
associada.
Passo 2
O domínio de integração
é dado por
$$
D={(x,y):-1\le x\le 0,;-x\le y\le \sqrt{2-x^2}}\n$$
que equivale a estar entre a reta e o semicírculo
para
de
a
.
que equivale a estar entre a reta
Passo 3
Para inverter, primeiro projetamos
no eixo
. Como para todo
temos
e
, conclui-se que
Passo 4
Em seguida, para cada valor fixo de
determinamos o intervalo de
. As condições são
O limite inferior de
é então
.
Passo 5
Há dois regimes, porque
ocorre quando
:
- Para
, tem-se e , logo vai de até . - Para
, tem-se e , logo vai de até .
Assim obtemos a integral com ordem trocada.