Ache as áreas das seguintes regiões D usando integrais duplas.
x=y^2, x=2 y-y^2

Passo 1

No enunciado temos a região D limitada pelas curvas x=y² e x=2y−y²; o conteúdo aqui é cálculo de área usando integrais duplas (ou, equivalentemente, uma integral simples em y).

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as expressões de x: resolvemos y^2 = 2y - y^2.
Reescrevendo a equação de interseção: y^2 + y^2 - 2y = 0
ou seja, 2y^2 - 2y = 0
fatorando, 2y(y-1)=0
daí vêm os valores y=0 e y=1.

Passo 3

Entre y=0 e y=1, a curva x=y^2 fica à esquerda e x=2y-y^2 à direita. Então a área é dada por
A=integraly=0^1l[(2y - y^2)-y^2r],dy
Agora é só calcular a integral:
A=integral0^1(2y - 2y^2),dy = l[y^2 - tfrac23y^3r]0^1 = 1 - tfrac23 = tfrac13

Resposta

tfrac13

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