Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral(2x^2+2x-3)^10(2x+1),dx usando o método da substituição, que é parte do conteúdo de integração de funções compostas. Vamos precisar identificar uma expressão cujo diferencial apareça multiplicando a função.

Passo 2

Perceba que dentro do parênteses temos 2x^2+2x-3 elevado a 10, e fora aparece (2x+1),dx. Faz sentido escolher
u = 2x^2 + 2x - 3. Derivando em relação a x, temos
dudx = 4x + 2 = 2(2x+1)
e, portanto,
$$
du = 2(2x+1),dx du = 2(2x+1),dxá
(2x+1),dx = \frac{du}{2}.
$$

Passo 3

Substituindo na integral original, trocamos (2x^2+2x-3)^10 por u^10 e (2x+1),dx por du/2:
integral(2x^2+2x-3)^10(2x+1),dx = integral u^10 du2 = 12 integral u^10 ,du
Agora é só integrar em u:
12 integral u^10 ,du = 12 cdot u^1111 + C = u^1122 + C
Por fim, voltamos à variável x substituindo u = 2x^2 + 2x - 3.

Resposta

(2x^2+2x-3)^1122 + C

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