Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade abaixo, que é a segunda identidade de Green em 3D:
$$
\iint_{S}\bigl(f \frac{\partial g}{\partial n}-g \frac{\partial f}{\partial n}\bigr)dS
\iiint_{V}\bigl(f \nabla^{2} g - g \nabla^{2} f\bigr)dxdydz
$$
Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência e a definição da derivada normal
.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
. A ideia é aplicar o Teorema da Divergência em
.
Passo 3
Calculamos a divergência de
:
Pela regra do produto:
Subtraindo, vem
Passo 4
Aplicamos o Teorema da Divergência:
Passo 5
Reconhecemos que
Substituindo na integral de superfície igual à integral de volume de
, obtemos exatamente a identidade proposta.