Mostre que:
.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade abaixo, que é a segunda identidade de Green em 3D:

$$
\iint_{S}\bigl(f \frac{\partial g}{\partial n}-g \frac{\partial f}{\partial n}\bigr)dS

\iiint_{V}\bigl(f \nabla^{2} g - g \nabla^{2} f\bigr)dxdydz
$$
Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência e a definição da derivada normal integral duplaSl(f partial gpartial n-g partial fpartial nr)dS = integral triplaVl(f nabla^2 g - g nabla^2 fr)dxdydz .

Passo 2

Definimos o campo vetorial A=f,nabla g - g,nabla f. A ideia é aplicar o Teorema da Divergência em A.

Passo 3

Calculamos a divergência de A:
nablacdotA=nablacdot(fnabla g)-nablacdot(gnabla f)
Pela regra do produto:
nablacdot(fnabla g)=fnabla^2 g + nabla fcdotnabla g,
nablacdot(gnabla f)=gnabla^2 f + nabla gcdotnabla f
Subtraindo, vem
nablacdotA=fnabla^2 g - gnabla^2 f

Passo 4

Aplicamos o Teorema da Divergência:
integral triplaVnablacdotA,dV = integral duplaSAcdotn,dS

Passo 5

Reconhecemos que
Acdotn=(fnabla g - gnabla f)cdotn=fpartial gpartial n-gpartial fpartial n
Substituindo na integral de superfície igual à integral de volume de nablacdotA, obtemos exatamente a identidade proposta.

Resposta

integral duplaSl(f partial gpartial n-g partial fpartial nr)dS = integral triplaVl(f nabla^2 g - g nabla^2 fr)dxdydz

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