Ache as áreas das seguintes regiões D usando integrais duplas.
x=y^2, y=x-2
( A=9 / 2 u.a.)

Passo 1

A questão pede a área da região D limitada pelas curvas x = y^{2} e y = x - 2, usando integrais duplas. O conteúdo é cálculo de área por integração em coordenadas cartesianas; vamos precisar encontrar os limites de integração determinando as interseções e depois montar a integral de 1 sobre D.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos de interseção resolvendo o sistema x = y^{2} e y = x - 2. Substituindo x = y^{2} em y = x - 2, temos y = y^{2} - 2, ou seja y^{2} - y - 2 = 0. As raízes são y = 2 e y = -1. Em cada uma, x = y^{2} fornece x = 4 e x = 1, respectivamente.
Com as interseções, vemos que a região D se estende em y de -1 até 2. Para cada y fixo, x varia da parábola x = y^{2} (limite esquerdo) até a reta x = y + 2 (limite direito).

Passo 3

Montamos então a integral dupla para a área A como:
A = integral duplaD 1 ,dA = integraly=-1^2 integralx=y^2^y+2 1 ,dx,dy

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em x:
integralx=y^2^y+2 1 ,dx = (y + 2) - y^2

Passo 5

Agora integramos em y de -1 até 2:
A = integral-1^2 l(y + 2 - y^2r) ,dy

Passo 6

Fazendo a primitivação: ∫y dy = y^{2}/2, ∫2 dy = 2y, ∫y^{2} dy = y^{3}/3. Avaliando de -1 a 2:
l(tfrac2^22 + 2cdot2 - tfrac2^33r) - l(tfrac(-1)^22 + 2cdot(-1) - tfrac(-1)^33r) = l(2 + 4 - tfrac83r) - l(tfrac12 - 2 + tfrac13r) = tfrac103 - l(-tfrac76r) = tfrac103 + tfrac76 = tfrac276 = tfrac92

Resposta

tfrac92 u.a.

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