Ache as áreas das seguintes regiões D usando integrais duplas.
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u.a.)
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Passo 1
A questão pede a área da região D limitada pelas curvas x = y^{2} e y = x - 2, usando integrais duplas. O conteúdo é cálculo de área por integração em coordenadas cartesianas; vamos precisar encontrar os limites de integração determinando as interseções e depois montar a integral de 1 sobre D.
Passo 2
Primeiro, achamos os pontos de interseção resolvendo o sistema x = y^{2} e y = x - 2. Substituindo x = y^{2} em y = x - 2, temos y = y^{2} - 2, ou seja y^{2} - y - 2 = 0. As raízes são y = 2 e y = -1. Em cada uma, x = y^{2} fornece x = 4 e x = 1, respectivamente.
Com as interseções, vemos que a região D se estende em y de -1 até 2. Para cada y fixo, x varia da parábola x = y^{2} (limite esquerdo) até a reta x = y + 2 (limite direito).
Com as interseções, vemos que a região D se estende em y de -1 até 2. Para cada y fixo, x varia da parábola x = y^{2} (limite esquerdo) até a reta x = y + 2 (limite direito).
Passo 3
Montamos então a integral dupla para a área A como:
Passo 4
Calculamos primeiro a integral em x:
Passo 5
Agora integramos em y de -1 até 2:
Passo 6
Fazendo a primitivação: ∫y dy = y^{2}/2, ∫2 dy = 2y, ∫y^{2} dy = y^{3}/3. Avaliando de -1 a 2: