Para os campos vetoriais e curvas dadas abaixo, determine o fluxo através da curva com a integral de fluxo e posteriormente verifique o resultado utilizando o teorema da divergência no plano.
F=-x^2 i-y^2 j através da circunferência de raio a centrada na origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo do campo F = -x^2,i - y^2,j através da circunferência de raio a centrada na origem. Vamos usar dois métodos: integral de fluxo direta e teorema da divergência no plano (ou versão de Green para fluxo). Precisamos parametrizar a curva, obter o vetor normal externo e aplicar a definição de fluxo, além de calcular a divergência e integrar sobre o disco.

Passo 2

Para o cálculo direto, parametrizamos a circunferência como
x = acos t, y = asin t, tin[0,2pi]
O vetor normal externo unitário é n = (cos t, sin t) e o elemento de comprimento é ds = a,dt. O produto interno fica
Fcdotn = -x^2cos t - y^2sin t = -a^2(cos^3 t + sin^3 t)
e assim
Phi = ointC Fcdotn,ds = integral0^2pi -a^2(cos^3 t + sin^3 t),a,dt = -a^3 integral0^2pi(cos^3 t + sin^3 t),dt
Como integral0^2picos^3 t,dt = 0 e integral0^2pisin^3 t,dt = 0, o resultado é zero.

Passo 3

Pelo teorema da divergência, calculamos
nablacdotF = partial(-x^2)partial x + partial(-y^2)partial y = -2x - 2y
O fluxo é dado por
Phi = integral duplaD (nablacdotF),dA = integral duplaD (-2x - 2y),dA
sobre o disco D de raio a.

Passo 4

Dentro de um disco centrado na origem, integral duplaD x,dA = 0 e integral duplaD y,dA = 0 por simetria. Logo
Phi = -2integral duplaD x,dA - 2integral duplaD y,dA = 0,
confirmando o cálculo direto.

Resposta

0

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