Para os campos vetoriais e curvas dadas abaixo, determine o fluxo através da curva com a integral de fluxo e posteriormente verifique o resultado utilizando o teorema da divergência no plano.
através da circunferência de raio
centrada na origem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo do campo
através da circunferência de raio
centrada na origem. Vamos usar dois métodos: integral de fluxo direta e teorema da divergência no plano (ou versão de Green para fluxo). Precisamos parametrizar a curva, obter o vetor normal externo e aplicar a definição de fluxo, além de calcular a divergência e integrar sobre o disco.
Passo 2
Para o cálculo direto, parametrizamos a circunferência como
O vetor normal externo unitário é
e o elemento de comprimento é
. O produto interno fica
e assim
Como
e
, o resultado é zero.
Passo 3
Pelo teorema da divergência, calculamos
O fluxo é dado por
sobre o disco
de raio
.
Passo 4
Dentro de um disco centrado na origem,
e
por simetria. Logo
confirmando o cálculo direto.
Resposta
0