2.2 Encontre o domínio e a imagem da função
e faça o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para achar o domínio e a imagem da função de duas variáveis
f(x,y)=log\left(\frac{x2-1}{y2-1}\right) e também desenhar o gráfico. O conteúdo aqui envolve: condições de existência de log (argumento >0), resolução de desigualdades em duas variáveis e esboço do domínio no plano xy e da superfície z=f(x,y).
f(x,y)=log\left(\frac{x2-1}{y2-1}\right) e também desenhar o gráfico. O conteúdo aqui envolve: condições de existência de log (argumento >0), resolução de desigualdades em duas variáveis e esboço do domínio no plano xy e da superfície z=f(x,y).
Passo 2
Para encontrar o domínio, sabemos que o log existe apenas se o seu argumento for positivo e o denominador não for zero. Então precisamos de
e adicionalmente y^2−1≠0 (para não dividir por zero) e x^2−1≠0 (para não ter log de zero).
Passo 3
A desigualdade
só ocorre quando numerador e denominador têm o mesmo sinal. Ou seja temos duas situações:
- x^2−1>0 e y^2−1>0 ⇒ |x|>1 e |y|>1
- x^2−1<0 e y^2−1<0 ⇒ |x|<1 e |y|<1
Em ambos os casos excluímos x=±1 e y=±1.
Passo 4
Logo o domínio é a união dos dois conjuntos abertos:
Passo 5
Para a imagem, note que podemos tornar
arbitrariamente grande (fazendo x²>>y²) ou arbitrariamente pequeno (fazendo y²>>x²), sempre mantendo sinal positivo. Assim o argumento do log varia em
e portanto
Passo 6
Para esboçar o gráfico no plano xy, trace as retas x=±1 e y=±1, marque as regiões onde f existe (|x|<1,|y|<1 e |x|>1,|y|>1) e sombreie-as. No espaço (x,y,z), o gráfico da superfície é z=log(x2-1)−log(y2-1), que dispara para +∞ ao se aproximar das linhas do domínio e tende a ±∞ conforme variamos a relação x/y.
Resposta
Domínio: D={(x,y)\in\mathbb{R}^2:|x|>1,|y|>1}\cup{|x|<1,|y|<1}. Imagem: \mathbb{R}.