2.2 Encontre o domínio e a imagem da função f(x, y)= e faça o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio e a imagem da função de duas variáveis
f(x,y)=log\left(\frac{x2-1}{y2-1}\right) e também desenhar o gráfico. O conteúdo aqui envolve: condições de existência de log (argumento >0), resolução de desigualdades em duas variáveis e esboço do domínio no plano xy e da superfície z=f(x,y).

Passo 2

Para encontrar o domínio, sabemos que o log existe apenas se o seu argumento for positivo e o denominador não for zero. Então precisamos de
x^2-1y^2-1>0
e adicionalmente y^2−1≠0 (para não dividir por zero) e x^2−1≠0 (para não ter log de zero).

Passo 3

A desigualdade (x^2-1)/(y^2-1)>0 só ocorre quando numerador e denominador têm o mesmo sinal. Ou seja temos duas situações:
  1. x^2−1>0 e y^2−1>0 ⇒ |x|>1 e |y|>1
  2. x^2−1<0 e y^2−1<0 ⇒ |x|<1 e |y|<1
    Em ambos os casos excluímos x=±1 e y=±1.

Passo 4

Logo o domínio é a união dos dois conjuntos abertos:
D=(x,y):|x|>1,|y|>1cup(x,y):|x|<1,|y|<1 No plano xy isso corresponde aos quatro quadrantes “externos” além dos retângulos centrais, mais o quadrado central. As linhas x=±1 e y=±1 são fronteiras onde a função não existe.

Passo 5

Para a imagem, note que podemos tornar (x^2-1)/(y^2-1) arbitrariamente grande (fazendo x²>>y²) ou arbitrariamente pequeno (fazendo y²>>x²), sempre mantendo sinal positivo. Assim o argumento do log varia em (0,+infty) e portanto
Im(f)=R

Passo 6

Para esboçar o gráfico no plano xy, trace as retas x=±1 e y=±1, marque as regiões onde f existe (|x|<1,|y|<1 e |x|>1,|y|>1) e sombreie-as. No espaço (x,y,z), o gráfico da superfície é z=log(x2-1)−log(y2-1), que dispara para +∞ ao se aproximar das linhas do domínio e tende a ±∞ conforme variamos a relação x/y.

Resposta

Domínio: D={(x,y)\in\mathbb{R}^2:|x|>1,|y|>1}\cup{|x|<1,|y|<1}. Imagem: \mathbb{R}.

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