Para os campos vetoriais e curvas dadas abaixo, determine o fluxo através da curva com a integral de fluxo e posteriormente verifique o resultado utilizando o teorema da divergência no plano.
F=x^2 i+y^2 j através da circunferência de raio a centrada na origem.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial vec F = x^2,hat i + y^2,hat j através da circunferência de raio a centrada na origem, usando a integral de fluxo e depois checar com o teorema da divergência no plano (também conhecido como forma de Green para fluxo). Vamos lembrar que para a integral de fluxo em contorno fechado precisamos parametrizar a curva, achar a normal externa e calcular oint vec Fcdothat n,ds. Para o teorema da divergência, precisamos computar nablacdotvec F e integrar em área sobre o disco.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência por vec r(theta) = (acostheta,,asintheta), com thetain[0,2pi]. A normal unitária externa é hat n=(costheta,,sintheta) e ds = a,dtheta. Substituindo no campo, temos
vec F(theta) = (a^2cos^2theta,,a^2sin^2theta)
Então
vec Fcdothat n = a^2(cos^3theta + sin^3theta)
Logo o fluxo é
Phi = integral0^2pi a^2(cos^3theta + sin^3theta),a,dtheta = a^3integral0^2pi(cos^3theta + sin^3theta),dtheta
Como integral0^2picos^3theta,dtheta=0 e integral0^2pisin^3theta,dtheta=0, concluímos que Phi=0.

Passo 3

Pelo teorema da divergência no plano, o fluxo pelo contorno é igual a
integral duplaD(nablacdotvec F),dA
onde
nablacdotvec F = partialpartial x(x^2) + partialpartial y(y^2) = 2x + 2y
Como o domínio D é o disco centrado na origem, a integral de x e de y sobre o disco é zero por simetria. Assim,
integral duplaD (2x+2y),dA = 2integral duplaD x,dA + 2integral duplaD y,dA = 0
logo o fluxo dado pelo teorema da divergência também é zero.

Passo 4

Ambos os métodos coincidem e mostram que o fluxo de vec F pela circunferência de raio a é zero.

Resposta

0

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