Para os campos vetoriais e curvas dadas abaixo, determine o fluxo através da curva com a integral de fluxo e posteriormente verifique o resultado utilizando o teorema da divergência no plano.
através da circunferência de raio
centrada na origem.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da circunferência de raio
centrada na origem, usando a integral de fluxo e depois checar com o teorema da divergência no plano (também conhecido como forma de Green para fluxo). Vamos lembrar que para a integral de fluxo em contorno fechado precisamos parametrizar a curva, achar a normal externa e calcular
. Para o teorema da divergência, precisamos computar
e integrar em área sobre o disco.
Passo 2
Parametrizamos a circunferência por
, com
. A normal unitária externa é
e
. Substituindo no campo, temos
Então
Logo o fluxo é
Como
e
, concluímos que
.
Passo 3
Pelo teorema da divergência no plano, o fluxo pelo contorno é igual a
onde
Como o domínio
é o disco centrado na origem, a integral de
e de
sobre o disco é zero por simetria. Assim,
logo o fluxo dado pelo teorema da divergência também é zero.
Passo 4
Ambos os métodos coincidem e mostram que o fluxo de
pela circunferência de raio
é zero.
Resposta
0