Verificar o Teorema de Stokes nos casos seguintes :
e ;

Passo 1

A gente quer verificar o Teorema de Stokes para o hemisfério S de raio 1 (parte superior da esfera x^2+y^2+z^2=1, z>=0) e o campo vec F(x,y,z)=(x^2y^3,1,z). Segundo Stokes, deve valer integral duplaS(nablatimesvec F)cdot dvec S=ointpartial Svec Fcdot dvec r Vamos calcular os dois lados e comparar.

Passo 2

Começamos achando o rotacional de vec F. Com vec F=(P,Q,R)=(x^2y^3,1,z), usamos nablatimesvec F=l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr) Derivando, temos nablatimesvec F=(0-0,;0-0,;0-3x^2y^2)=(0,0,-3x^2y^2)

Passo 3

Agora vamos à integral de superfície. No hemisfério, o vetor normal unitário é vec n=(x,y,z) e o elemento de área é dado em coordenadas esféricas por dS=sinphi,dphi,dtheta com x=sinphicostheta, y=sinphisintheta, z=cosphi,0<=phi<=tfracpi2,;0<=theta<=2pi Então integral duplaS(nablatimesvec F)cdot dvec S=integral duplaS(-3x^2y^2z),dS Substituindo a parametrização, temos x^2y^2z=-3(sin^2phicos^2theta)(sin^2phisin^2theta)(cosphi), e com dS=sinphi,dphi,dtheta temos IS=-3integral0^2piintegral0^pi/2sin^5phicosphicos^2thetasin^2theta,dphi,dtheta Separamos em produto de integrais: integral0^2picos^2thetasin^2theta,dtheta=pi4, integral0^pi/2sin^5phicosphi,dphi=16 Logo IS=-3cdotpi4cdot16=-pi8

Passo 4

Agora parametrize a fronteira partial S, que é o círculo x^2+y^2=1,;z=0. Use vec r(theta)=(costheta,sintheta,0),0<=theta<=2pi, então vec F(vec r)=l(cos^2thetasin^3theta,1,0r), dvec r=(-sintheta,costheta,0)dtheta O produto escalar é vec Fcdot dvec r=-cos^2thetasin^4theta,dtheta+costheta,dtheta Integrando de 0 a 2pi: IC=integral0^2pil(-cos^2thetasin^4theta+costhetar)dtheta=-integral0^2picos^2thetasin^4theta,dtheta E sabe-se que integral0^2picos^2thetasin^4theta,dtheta=pi8, portanto IC=-pi8

Passo 5

Como IS=IC=-tfracpi8, o Teorema de Stokes está verificado neste caso.

Resposta

As duas integrais dão -tfracpi8, confirmando o Teorema de Stokes.

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