Verificar o Teorema de Stokes nos casos seguintes :
e
;
Passo 1
A gente quer verificar o Teorema de Stokes para o hemisfério
de raio 1 (parte superior da esfera
,
) e o campo
. Segundo Stokes, deve valer
Vamos calcular os dois lados e comparar.
Passo 2
Começamos achando o rotacional de
. Com
, usamos
Derivando, temos
Passo 3
Agora vamos à integral de superfície. No hemisfério, o vetor normal unitário é
e o elemento de área é dado em coordenadas esféricas por
com
Então
Substituindo a parametrização, temos
e com
temos
Separamos em produto de integrais:
Logo
Passo 4
Agora parametrize a fronteira
, que é o círculo
. Use
então
O produto escalar é
Integrando de 0 a
:
E sabe-se que
portanto
Passo 5
Como
, o Teorema de Stokes está verificado neste caso.
Resposta
As duas integrais dão
, confirmando o Teorema de Stokes.