Ache os auto-valores do operador f, seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
f(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, 2 y+3 z)

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores, subespaços próprios e multiplicidades algébrica e geométrica do operador fcolon R^3to R^3 definido por
f(x,y,z) = (x+y+z,;2y+z,;2y+3z)
O conteúdo é autovalores e autovetores de transformação linear. Vamos representar f na base canônica por uma matriz A, calcular seu polinômio característico para obter os autovalores e depois resolver (A-lambda I)v=0 para encontrar os subespaços próprios.

Passo 2

Para achar a matriz de f na base canônica, observamos as imagens dos vetores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1):
f(1,0,0) = (1,0,0), f(0,1,0) = (1,2,2), f(0,0,1) = (1,1,3)
Assim, a matriz de f é
A = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3

Passo 3

O polinômio característico de A é
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = det 1-lambda & 1 & 1 0 & 2-lambda & 1 0 & 2 & 3-lambda = (1-lambda)l((2-lambda)(3-lambda)-2r)
Fatorando,
chiA(lambda) = (1-lambda)(lambda-1)(lambda-4) = -(lambda-1)^2(lambda-4)
Logo os autovalores são lambda=1 (algébrica 2) e lambda=4 (algébrica 1).

Passo 4

Para lambda=1, resolvemos (A-I)v=0.
A - I = 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 2 & 2 ,
que impõe y+z=0. Assim os vetores próprios satisfazem y=-z e x livre, ou seja
E1 = (x,y,z)mid y=-z = Span(1,0,0),,(0,-1,1)
A dimensão de E1 é 2, então a multiplicidade geométrica de lambda=1 é 2.

Passo 5

Para lambda=4, resolvemos (A-4I)v=0.
A - 4I = -3 & 1 & 1 0 & -2 & 1 0 & 2 & -1 ,
as equações dão z=2y e y=x. Logo todo vetor próprio é múltiplo de (1,1,2), e
E4 = Span(1,1,2)
A dimensão de E4 é 1, logo a multiplicidade geométrica de lambda=4 é 1.

Passo 6

Comparando as multiplicidades: lambda=1 tem algébrica 2 e geométrica 2; lambda=4 tem algébrica 1 e geométrica 1.

Resposta

lambda=1: subespaço próprio E1=Span(1,0,0),(0,-1,1), multiplicidade algébrica 2, multiplicidade geométrica 2.\n lambda=4: subespaço próprio E4=Span(1,1,2), multiplicidade algébrica 1, multiplicidade geométrica 1.

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