Defina subgrupos normais e dê exemplo de um grupo com um subgrupo que não seja normal.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que é um subgrupo normal e depois darmos um exemplo de um grupo que possui um subgrupo que não é normal. O conteúdo é teoria de grupos, mais precisamente subgrupos e a condição de normalidade, e vamos precisar usar o conceito de conjugação dentro de um grupo.
Passo 2
Antes de entrar na definição de normalidade, lembre que um subconjunto
de um grupo
é subgrupo se ele contém o elemento identidade, é fechado sob a operação do grupo e sob inversos. Agora, um subgrupo
é dito normal em
se, para todo
, a conjugação de
por
fica dentro de
. Em fórmulas, isso equivale a dizer que
Passo 3
Passo 4
Como alternativa equivalente, podemos exigir que cada elemento conjugado fique em
:
Passo 5
Passo 6
Agora vamos ao exemplo de subgrupo que não satisfaz essa condição. Considere o grupo simétrico
, formado por todas as permutações de três elementos, e seja
Passo 7
Passo 8
Para ver que
não é normal, basta achar um elemento
e
tal que
Passo 9
Passo 10
Escolha, por exemplo,
e
. Então
Passo 11
Passo 12
e
. Logo
não é fechado sob conjugação e, portanto, não é normal em
.
Resposta
Um subgrupo
de
é normal se, para todo
, temos
(equivalente a exigir
para todo
). Exemplo de subgrupo não normal: no grupo simétrico
, o subgrupo
não é normal porque, por exemplo, conjugando
por
obtém-se
.