Defina subgrupos normais e dê exemplo de um grupo com um subgrupo que não seja normal.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é um subgrupo normal e depois darmos um exemplo de um grupo que possui um subgrupo que não é normal. O conteúdo é teoria de grupos, mais precisamente subgrupos e a condição de normalidade, e vamos precisar usar o conceito de conjugação dentro de um grupo.

Passo 2

Antes de entrar na definição de normalidade, lembre que um subconjunto H de um grupo G é subgrupo se ele contém o elemento identidade, é fechado sob a operação do grupo e sob inversos. Agora, um subgrupo H é dito normal em G se, para todo gin G, a conjugação de H por g fica dentro de H. Em fórmulas, isso equivale a dizer que

Passo 3

gHg^-1=,ghg^-1:hin H;=;Hforall gin G

Passo 4

Como alternativa equivalente, podemos exigir que cada elemento conjugado fique em H:

Passo 5

g h g^-1in Hforall gin G,;hin H

Passo 6

Agora vamos ao exemplo de subgrupo que não satisfaz essa condição. Considere o grupo simétrico S3, formado por todas as permutações de três elementos, e seja

Passo 7

H=id,,(1,2)subset S3

Passo 8

Para ver que H não é normal, basta achar um elemento gin S3 e hin H tal que

Passo 9

g h g^-1notin H

Passo 10

Escolha, por exemplo, g=(1,3)in S3 e h=(1,2)in H. Então

Passo 11

g,h,g^-1=(1,3)(1,2)(1,3)=(2,3),

Passo 12

e (2,3)notin H. Logo H não é fechado sob conjugação e, portanto, não é normal em S3.

Resposta

Um subgrupo H de G é normal se, para todo gin G, temos gHg^-1=H (equivalente a exigir g h g^-1in H para todo hin H). Exemplo de subgrupo não normal: no grupo simétrico S3, o subgrupo H=id,(1,2) não é normal porque, por exemplo, conjugando (1,2) por (1,3) obtém-se (2,3)notin H.

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