Ache os auto-valores do operador f, seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
f(x, y)=(5 x-y, x+3 y)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores de f:R^2toR^2 definida por
f(x,y) = (5x - y,;x + 3y),
além dos subespaços próprios correspondentes e das multiplicidades algébrica e geométrica. O conteúdo é autovalores e autovetores, e vamos usar a matriz associada e a equação característica.

Passo 2

A matriz de f na base canônica é
A = 5 & -1 [6pt] 1 & 3
Para encontrar os autovalores, calculamos det(A - lambda I)=0.]

Passo 3

Temos
det(A - lambda I) = det!5-lambda & -1 [3pt] 1 & 3-lambda = (5-lambda)(3-lambda) - (-1)cdot1 = (5-lambda)(3-lambda) + 1
Desenvolvendo:
(5-lambda)(3-lambda) + 1 = 15 - 5lambda - 3lambda + lambda^2 + 1 = lambda^2 - 8lambda + 16 ]

Passo 4

Igualando a zero,
lambda^2 - 8lambda + 16 = 0,
o discriminante é De<a = (-8)^2 - 4cdot1cdot16 = 0. Logo há raiz única
lambda = 82 = 4,
com multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Para achar os autovetores de , resolvemos
Isso dá , ou seja . Um autovetor é e o subespaço próprio é
]

Passo 6

O subespaço próprio E4 tem dimensão 1, logo a multiplicidade geométrica de lambda=4 é 1.

Resposta

O operador f possui o único autovalor
lambda=4
com multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1.
O subespaço próprio é
E4 = (t,t)mid tinR

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