Ache os auto-valores do operador
, seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
Passo 1
O enunciado pede os autovalores de
definida por
além dos subespaços próprios correspondentes e das multiplicidades algébrica e geométrica. O conteúdo é autovalores e autovetores, e vamos usar a matriz associada e a equação característica.
Passo 2
A matriz de
na base canônica é
Para encontrar os autovalores, calculamos
.]
Passo 3
Temos
Desenvolvendo:
Passo 4
Igualando a zero,
o discriminante é
. Logo há raiz única
com multiplicidade algébrica
.
Passo 5
Para achar os autovetores de
, resolvemos
Isso dá
, ou seja
. Um autovetor é
e o subespaço próprio é
Passo 6
O subespaço próprio
tem dimensão
, logo a multiplicidade geométrica de
é
.
Resposta
O operador
possui o único autovalor
com multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica
.
O subespaço próprio é
com multiplicidade algébrica
O subespaço próprio é