No espaço R^3 consideremos as bases B=e1, e2, e3 e C=g1, g2, g3 relacionadas da seguinte forma:
g1=e1+e2+e3 g2=2 e1+e3 g3=e2
a) Determine a matriz mudança de base de B para C.
b) Seja z=(1,3,1)B. Quais as coordenadas do vetor z na base C ?

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3,
B=e1,e2,e3 (a canônica) e
C=g1,g2,g3 com
g1=e1+e2+e3, g2=2e1+e3, g3=e2
Precisamos de
(a) a matriz de mudança de base de B para C, ou seja a matriz P tal que
[v]C = P,[v]B
para todo vinR^3,
e
(b) as coordenadas de z=(1,3,1)B na base C.

Passo 2

Para obter P note que suas colunas devem ser as coordenadas de e1,e2,e3 na base C. Então vamos expressar cada ei como combinação linear de g1,g2,g3.

Passo 3

Das definições já temos
g3=e2
logo
e2 = g3,
então
[e2]C = 001
Em seguida, de
g2 = 2e1 + e3
vem
e3 = g2 - 2e1
E de
g1 = e1 + e2 + e3
substituindo e2=g3 e e3=g2-2e1 obtemos
g1 = e1 + g3 + (g2 -2e1) = -e1 + g2 + g3 Longrightarrow e1 = -g1 + g2 + g3,
portanto
[e1]C = -111
Agora voltamos em e3 = g2 -2e1:
e3 = g2 -2(-g1 + g2 + g3) = 2g1 - g2 -2g3,
logo
[e3]C = 2-1-2

Passo 4

A matriz de mudança de base P (de B para C) tem colunas [e1]C,[e2]C,[e3]C. Assim,
PC B = -1 & 0 & 2 1 & 0 & -1 1 & 1 & -2

Passo 5

Para encontrar [z]C com z=(1,3,1)B, fazemos
[z]C = P,[z]B = -1 & 0 & 2 1 & 0 & -1 1 & 1 & -2 131 = -1cdot1 + 0cdot3 + 2cdot1 ;1cdot1 + 0cdot3 -1cdot1 ;1cdot1 + 1cdot3 -2cdot1 = 102

Resposta

a) PC B = -1 & 0 & 2 1 & 0 & -1 1 & 1 & -2
b) [z]C = (1,0,2)C

Exercícios relacionados