Verificar se a aplicação é uma transformação linear:
f: R R^2 definida por f(x)=(8, x)

Passo 1

O enunciado define fcolon RtoR^2 por
f(x) = (8,,x)
Queremos verificar se f é uma transformação linear, ou seja, se satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Lembrando a definição, f é linear se, para todo x,yinR e todo escalar alphainR, tivermos
f(x+y)=f(x)+f(y) e f(alpha x)=alpha,f(x)
Uma forma rápida de testar linearidade é verificar se f(0)=0, pois toda aplicação linear deve enviar o vetor nulo em R no vetor nulo em R^2.

Passo 3

Calculemos f(0):
f(0) = (8,,0)
Por outro lado, o vetor nulo em R^2 é (0,0). Como
f(0)=(8,0)neq(0,0),
já concluímos que f não pode ser linear.

Passo 4

Para ilustrar, vejamos também a falha na aditividade:
f(x+y) = (8,,x+y), f(x)+f(y) = (8,,x)+(8,,y) = (16,,x+y),
e (8,x+y)neq(16,x+y). Isso confirma que f não satisfaz f(x+y)=f(x)+f(y).

Resposta

A aplicação f não é uma transformação linear.

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