Verificar se a aplicação é uma transformação linear:
definida por
Passo 1
O enunciado define
por
Queremos verificar se
é uma transformação linear, ou seja, se satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Lembrando a definição,
é linear se, para todo
e todo escalar
, tivermos
Uma forma rápida de testar linearidade é verificar se
, pois toda aplicação linear deve enviar o vetor nulo em
no vetor nulo em
.
Passo 3
Calculemos
:
Por outro lado, o vetor nulo em
é
. Como
já concluímos que
não pode ser linear.
Passo 4
Para ilustrar, vejamos também a falha na aditividade:
e
. Isso confirma que
não satisfaz
.
Resposta
A aplicação
não é uma transformação linear.