Dadas as matrizes:
A=[ccc 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 4 & 3 & 1 ], B=[ccc 1 & 2 & 0 -1 & 3 & 1 2 & 0 & -1 ]
Verifique se a matriz A é inversível. Caso seja, encontre A^-1.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 4 & 3 & 1
e pede para verificar se A é inversível e, em caso afirmativo, encontrar A^-1. Para isso, vamos usar dois pontos principais da teoria de matrizes quadradas:
  1. A é inversível se, e somente se, det(A)neq 0.
  2. Se det(A)neq0, então
A^-1 = 1det(A),adj(A),
onde adj(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores).

Passo 2

Calculamos det(A) expandindo por cofator ao longo da primeira linha:
det(A) =2cdotdet0 & -23 & 1 -(-1)cdotdet1 & -24 & 1 +3cdotdet1 & 04 & 3
Agora cada menor:
det0 & -23 & 1 =0cdot1-(-2)cdot3=6, det1 & -24 & 1 =1cdot1-(-2)cdot4=9, det1 & 04 & 3 =1cdot3-0cdot4=3

Passo 3

Substituindo na expressão de det(A) obtemos
det(A)=2cdot6 -(-1)cdot9 +3cdot3 =12+9+9 =30
Como det(A)=30neq0, concluímos que A é inversível.

Passo 4

Para achar a matriz de cofatores C, calculamos cada cofactor Cij=(-1)^i+jMij, onde Mij é o menor complementar. O resultado é
C = 6 & -9 & 3 10 & -10 & -10 2 & 7 & 1

Passo 5

A adjunta adj(A) é a transposta de C:
adj(A) = C^T = 6 & 10 & 2 -9 & -10 & 7 3 & -10 & 1

Passo 6

Finalmente, usando a fórmula de inversa, temos
A^-1 = 1det(A),adj(A) = 130 6 & 10 & 2 -9 & -10 & 7 3 & -10 & 1

Resposta

Como det(A)=30neq0, A é inversível e
A^-1 = 130 6 & 10 & 2 -9 & -10 & 7 3 & -10 & 1

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