Ache os autovalores e os autovetores associados, do operador linear A :
R2 R2 dado por A(x, y)=(7x,-4x+3y)

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e os autovetores associados de um operador linear Acolon R^2toR^2 definido por
A(x,y) = (7x,,-4x+3y)
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: vamos usar caracterização matricial, calcular o polinômio característico det(A-lambda I)=0 para achar os autovalores lambda e em seguida resolver (A-lambda I)v=0 para obter cada autovetor v.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz de A na base canônica (1,0),(0,1). Como
A(1,0)=(7,-4), A(0,1)=(0,3),
a matriz é
A = 7 & 0 [6pt] -4 & 3 ]

Passo 3

Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico:
p(lambda)=detl(A - lambda Ir) =det7-lambda & 0 -4 & 3-lambda =(7-lambda)(3-lambda)-0

Passo 4

Resolvendo
(7-lambda)(3-lambda)=0
damos os autovalores
lambda1 = 7 e lambda2 = 3

Passo 5

Para
que vira
Logo, os autovetores associados a (\lambda_1=7] são todos os múltiplos de

Passo 6

Para
daí são todos os múltiplos de

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
lambda1=7 com autovetores proporcionais a (1,-1),
lambda2=3 com autovetores proporcionais a (0,1).

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