Com relação ao operador linear A: R2 R2, dado por A(x, y)=(-4x+4y,-9x+8y):
Encontre o polinômio característico e os autovalores de A;

Passo 1

O enunciado dá um operador linear Acolon R^2 to R^2 definido por
A(x,y)=(-4x+4y,,-9x+8y)
O que precisamos é:
1) montar a matriz de A na base canônica;
2) calcular o polinômio característico det(A-lambda I);
3) achar as raízes desse polinômio, que são os autovalores.

Passo 2

Na base canônica (1,0),(0,1), a matriz de A é
M = -4 & 4 [6pt] -9 & 8 ,
pois A(1,0)=(-4,-9) e A(0,1)=(4,8).]

Passo 3

O polinômio característico é
p(lambda)=detl(M - lambda Ir) =det -4-lambda & 4 [3pt] -9 & 8-lambda
Calculando o determinante:
p(lambda)=(-4-lambda)(8-lambda)-4cdot(-9) =l(-4-lambdar)l(8-lambdar)+36 ]

Passo 4

Expandindo:
(-4-lambda)(8-lambda) = -32 +4lambda -8lambda +lambda^2 =lambda^2 -4lambda -32,
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p(lambda)=lambda^2 -4lambda -32 +36 = lambda^2 -4lambda +4
Para encontrar os autovalores, resolvemos lambda^2 -4lambda +4=0.

Passo 5

A equação lambda^2 -4lambda +4=0 é
(lambda-2)^2=0,
portanto a única raiz (com multiplicidade algébrica 2) é
lambda=2.

Resposta

Polinômio característico:
p(lambda)=lambda^2 -4lambda +4
Autovalores:
lambda1=lambda2=2

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