Encontre os autovalores e os autovetores de
T(x1, x2, x3)=(-2x2-2x3, x1+3x2+4x3,-x1-x2-2x3)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^3to R^3 por
T(x1,x2,x3)=(-2x2-2x3,;x1+3x2+4x3,;-x1-x2-2x3)
Precisamos achar os autovalores lambda e, para cada lambda, os autovetores não-nulos v tais que T(v)=lambda v. Vamos representar T pela matriz A na base canônica e seguir o procedimento padrão de diagonalização.

Passo 2

Determinar a matriz de T na base e1,e2,e3. Observando as componentes:
T(e1)=T(1,0,0)=(0,1,-1),
T(e2)=T(0,1,0)=(-2,3,-1),
T(e3)=T(0,0,1)=(-2,4,-2).
Logo
A = 0 & -2 & -2 1 & 3 & 4 -1 & -1 & -2

Passo 3

Calcular o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) =det -lambda & -2 & -2 1 & 3-lambda & 4 -1 & -1 & -2-lambda
Fazendo expansão, chega-se a
det(A-lambda I)=-lambda^3+lambda^2+2lambda =-lambda(lambda^2-lambda-2) =-lambda(lambda-2)(lambda+1)

Passo 4

Os autovalores são as raízes do polinômio característico:
lambda1=0, lambda2=2, lambda3=-1

Passo 5

Para
Da primeira equação vem . Logo os vetores próprios são

Passo 6

Para
Subtraindo, vem . Assim

Passo 7

Para
Da terceira equação e . Logo

Resposta

Os autovalores e vetores próprios são:
lambda=0 com vetores próprios ( -1,-1,1);
lambda=2 com vetores próprios (1,-1,0);
lambda=-1 com vetores próprios (0,1,-1).

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