Sabe-se que se um operador linear definido em R3 possuir três autovalores distintos, então ele é diagonalizável. Porém, se ele não possuir os três autovalores distintos, ele poderá ou não ser diagonalizável. Dito isto, verifique se o operador linear é diagonalizável .
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear definido por
e pede para verificar se é diagonalizável. Para isso, vamos precisar escrever a matriz de na base canônica, calcular seu polinômio característico, obter autovalores com suas multiplicidades algébrica e geométrica e comparar essas multiplicidades.
Dos fatores de -lambda,(2-lambda)^2 seguem os autovalores: lambda1=0 com multiplicidade algébrica 1 e lambda2=2 com multiplicidade algébrica 2.
Passo 5
Agora avaliamos as dimensões dos espaços próprios.
Para lambda=0, resolvemos A v=0, o que leva a z=0 e x+y=0, definindo um espaço próprio de dimensão 1, igual à multiplicidade algébrica.
Para lambda=2, resolvemos (A-2I)v=0, que se reduz à equação x+z=0. Há dois graus de liberdade, logo a dimensão do espaço próprio é 2, igual à multiplicidade algébrica.
Passo 6
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 1+2=3, igual à dimensão de R^3, há uma base de R^3 formada por autovetores de A. Logo, A é diagonalizável.