Sabe-se que se um operador linear definido em R3 possuir três autovalores distintos, então ele é diagonalizável. Porém, se ele não possuir os três autovalores distintos, ele poderá ou não ser diagonalizável. Dito isto, verifique se o operador linear
A: R3 R3(x, y, z) (-2z, 2x+2y+2z, 2z) é diagonalizável .

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear AcolonR^3toR^3 definido por
A(x,y,z)=(-2z,;2x+2y+2z,;2z),
e pede para verificar se A é diagonalizável. Para isso, vamos precisar escrever a matriz de A na base canônica, calcular seu polinômio característico, obter autovalores com suas multiplicidades algébrica e geométrica e comparar essas multiplicidades.

Passo 2

Vamos achar a matriz de A na base canônica e1,e2,e3.
A(e1)=A(1,0,0)=(0,2,0), A(e2)=A(0,1,0)=(0,2,0), A(e3)=A(0,0,1)=(-2,2,2)
Logo, em coordenadas,
A = 0 & 0 & -2 2 & 2 & 2 0 & 0 & 2

Passo 3

O polinômio característico é
detl(A - lambda Ir) =det -lambda & 0 & -2 2 & 2-lambda & 2 0 & 0 & 2-lambda =-lambda,(2-lambda)^2

Passo 4

Dos fatores de -lambda,(2-lambda)^2 seguem os autovalores:
lambda1=0 com multiplicidade algébrica 1 e
lambda2=2 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Agora avaliamos as dimensões dos espaços próprios.
Para lambda=0, resolvemos A v=0, o que leva a z=0 e x+y=0, definindo um espaço próprio de dimensão 1, igual à multiplicidade algébrica.
Para lambda=2, resolvemos (A-2I)v=0, que se reduz à equação x+z=0. Há dois graus de liberdade, logo a dimensão do espaço próprio é 2, igual à multiplicidade algébrica.

Passo 6

Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 1+2=3, igual à dimensão de R^3, há uma base de R^3 formada por autovetores de A. Logo, A é diagonalizável.

Resposta

A é diagonalizável.

Exercícios relacionados