Com relação ao operador linear A: R2 R2, dado por A(x, y)=(-4x+4y,-9x+8y):
Encontre os autovetores de A.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear Acolon R^2 to R^2 definido por
A(x,y)=(-4x+4y,,-9x+8y)
O conteúdo da matéria é autovalores e autovetores de uma transformação linear. Para encontrar os autovetores, primeiro calculamos o polinômio característico de A.

Passo 2

Escrevemos a matriz de A na base canônica:
A = -4 & 4 -9 & 8
O polinômio característico é dado por det(A - lambda I).

Passo 3

Calculamos
detl(A - lambda Ir) =det -4-lambda & 4 -9 & 8-lambda =(-4-lambda)(8-lambda)-4cdot(-9)
e desenvolvendo obtemos
(-4-lambda)(8-lambda)+36 =lambda^2-4lambda+4=(lambda-2)^2

Passo 4

Da equação segue que o único autovalor é (multiplicidade algébrica 2). Agora achamos o espaço próprio resolvendo

Passo 5

Da primeira equação vem . Logo todo vetor próprio associado a é da forma
Isso mostra que o espaço próprio é gerado por .

Resposta

Os autovetores de A são todos os múltiplos não nulos de l(2,3r), ou seja,
,t(2,3)mid tneq0

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