Ache os autovalores e os autovetores de cada matriz abaixo
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Como A é triangular superior, seus autovalores aparecem na diagonal principal. Vamos calcular o polinômio característico e em seguida achar os autovetores resolvendo (A-\lambda I)v=0.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
\det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0\\\\ 0 & 1-\lambda & 0\\\\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)^3.
Logo o único autovalor é \lambda=1
com multiplicidade algébrica 3.

Passo 3

Para encontrar os autovetores, resolvemos
(A-I)v=0,\quad v=(x,y,z)^T.
Temos
A-I=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
de modo que o sistema (A-I)v=0 equivale a
0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y=0,
enquanto x e z ficam livres.

Passo 4

O espaço próprio associado a \lambda=1 é
E_1 = \{(x,0,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\},
que é bidimensional. Uma base conveniente de autovetores é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

O único autovalor é
\lambda=1\quad(\text{mult.~3}),
e um conjunto de autovetores que forma base do espaço próprio é
v_1=(1,0,0)^T,\quad v_2=(0,0,1)^T,
isto é,
E_1=\mathrm{span}\{(1,0,0)^T,\,(0,0,1)^T\}.

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