Questão 4: Seja
é paralelo ao plano
.
Prove que
é subespaço de
e exiba uma base para W.
Prove que
Passo 1
O enunciado define
.
O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais em e caracterização de vetores paralelos a um plano usando seu vetor normal. Vamos mostrar que
satisfaz as condições de subespaço e então encontrar uma base para
.
O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais em
Passo 2
Para um plano
o vetor normal é
pois a equação pode ser reescrita como
Um vetor
é paralelo a
se, e somente se, for ortogonal ao normal
, i.e.
Passo 3
Calculemos
A condição
equivale a
Logo
Logo
Passo 4
Mostramos que
é subespaço:
- O vetor nulo
está em pois . - Se
e estão em , então
também satisfaz a componente 1 igual à 3, logo está em
.
3. Para ,
3. Para
também tem primeira componente igual à terceira, ficando em
.
Portanto é fechado em soma e multiplicação por escalar, isto é, subespaço.
Portanto
Passo 5
Um vetor genérico de
é
. Podemos escrever
Os vetores
são claramente independentes e geram todo
.
Resposta
Uma base de
é