Questão 4: Seja \mathbb{W}=\left\{U \in \mathbb{R}^{3}: U\right. é paralelo ao plano \left.\Pi: x-3=z\right\}.
Prove que \mathbb{W} é subespaço de \mathbb{R}^{3} e exiba uma base para W.

Passo 1

O enunciado define \mathbb{W}=\{U\in\mathbb{R}^{3}:U\text{ é paralelo ao plano }\Pi:x-3=z\}é.
O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais em \mathbb{R}^{3} e caracterização de vetores paralelos a um plano usando seu vetor normal. Vamos mostrar que \mathbb{W} satisfaz as condições de subespaço e então encontrar uma base para \mathbb{W}.

Passo 2

Para um plano
\Pi:\;x-3=z
o vetor normal é
n=(1,0,-1),
pois a equação pode ser reescrita como
1\cdot x+0\cdot y-1\cdot z-3=0.
Um vetor U=(x,y,z) é paralelo a \Pi se, e somente se, for ortogonal ao normal n, i.e.
U\cdot n=0.

Passo 3

Calculemos
U\cdot n=(x,y,z)\cdot(1,0,-1)=x-z.
A condição x-z=0 equivale a x=z.
Logo
\mathbb{W}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:x=z\} =\{(t,y,t)\mid t,y\in\mathbb{R}\}.

Passo 4

Mostramos que \mathbb{W} é subespaço:
  1. O vetor nulo (0,0,0) está em \mathbb{W} pois 0=0.
  2. Se (t_{1},y_{1},t_{1}) e (t_{2},y_{2},t_{2}) estão em \mathbb{W}, então
(t_{1},y_{1},t_{1})+(t_{2},y_{2},t_{2}) =(t_{1}+t_{2},\,y_{1}+y_{2},\,t_{1}+t_{2})
também satisfaz a componente 1 igual à 3, logo está em \mathbb{W}.
3. Para \lambda\in\mathbb{R},
\lambda\,(t,y,t)=(\lambda t,\lambda y,\lambda t)
também tem primeira componente igual à terceira, ficando em \mathbb{W}.
Portanto \mathbb{W} é fechado em soma e multiplicação por escalar, isto é, subespaço.

Passo 5

Um vetor genérico de \mathbb{W} é (t,y,t). Podemos escrever
(t,y,t)=t\,(1,0,1)+y\,(0,1,0).
Os vetores
v_{1}=(1,0,1) \quad\text{e}\quad v_{2}=(0,1,0)
são claramente independentes e geram todo \mathbb{W}.

Resposta

Uma base de \mathbb{W} é
\{(1,0,1),\,(0,1,0)\}.

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