Prove que \mathbb{W} é subespaço de \mathbb{R}^{3} e exiba uma base para W. Questão 5: Resolva os itens abaixo.
(a) Exprima o vetor X=(1,3,10) como combinação linear { }^{1} dos vetores U=(1,0,0), V=(1,1,0) e W=(2,-3,5). O conjunto \{X, U, V, W\} é linearmente independente?
(b) Se U_{1}, U_{2} e U_{3} \in \mathbb{R}^{3} são vetores unitários dois a dois ortogonais, então qualquer X \in \mathbb{R}^{3} pode ser escrito como
X=\left(X \cdot U_{1}\right) U_{1}+\left(X \cdot U_{2}\right) U_{2}+\left(X \cdot U_{3}\right) U_{3} .
Com base nessa informação verifique que os vetores U_{1}=\left(\frac{4}{5}, \frac{3}{5}, 0\right), U_{2}=\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0\right) e U_{3}=(0,0,1) são vetores unitários dois a dois ortogonais e utilize a fórmula acima para escrever X=(7,3,-5) como combinação linear de U_{1}, U_{2} e U_{3}.
(c) Considerando a base \{U, V\} de \mathbb{W} encontrada na 4^{\mathrm{a}} questão, encontre W \in \mathbb{R}^{3} tal que \{U, V, W\} seja uma base de \mathbb{R}^{3}

  1. { }^{1} soma de múltiplos escalares e U, V e W

Passo 1

O enunciado pede primeiro para provar que um certo subespaço \mathbb W\subset\mathbb R^3 e exibir uma base para ele (essa é a “questão 4”). Em seguida, na “questão 5”, temos três itens que dependem justamente da base \{U,V\} de \mathbb W obtida na questão 4.

Passo 2

Para resolver qualquer um dos itens da questão 5(c), precisamos conhecer explicitamente qual é esse subespaço \mathbb W e qual a base \{U,V\} encontrada na questão 4. Sem essa definição, não há como provar as afirmações nem construir o vetor complementar W\in\mathbb R^3.

Resposta

Não é possível resolver os itens pedidos porque o enunciado não fornece a descrição de \mathbb W nem a base \{U,V\} obtida na questão 4, que são dados essenciais para os itens subsequentes.

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