Questão 1: Prove que qualquer matriz da forma
A=\left[\begin{array}{lll} a & 0 & 0 \\\\ 0 & b & c \\\\ 0 & c & b \end{array}\right]
é diagonalizável se a \neq b \pm c.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\\\ 0 & b & c\\\\ 0 & c & b \end{pmatrix}
e pede para mostrar que ela é diagonalizável sempre que
a \neq b+c \quad\text{e}\quad a \neq b-c.
O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores: vamos calcular o polinômio característico, extrair os autovalores e usar que uma matriz de ordem 3 com três autovalores distintos é diagonalizável.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico
\chi_{A}(\lambda) =\det\bigl(A-\lambda I_{3}\bigr) =\det\begin{pmatrix} a-\lambda & 0 & 0\\\\ 0 & b-\lambda & c\\\\ 0 & c & b-\lambda \end{pmatrix}.
Como a primeira linha e coluna isolam o fator (a-\lambda), temos
\chi_{A}(\lambda) =(a-\lambda)\,\det\begin{pmatrix}b-\lambda & c\\\ c & b-\lambda\end{pmatrix} =(a-\lambda)\bigl((b-\lambda)^2 - c^2\bigr).

Passo 3

Resolva \chi_{A}(\lambda)=0. Do fator (a-\lambda) vem o autovalor
\lambda_1 = a.
Do segundo fator
(b-\lambda)^2 - c^2 = 0 \;\Longrightarrow\; b-\lambda = \pm\,c \;\Longrightarrow\; \lambda = b\pm c,
que dá
\lambda_2 = b + c, \quad \lambda_3 = b - c.

Passo 4

Para que \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 sejam todos distintos, exige-se
a \neq b+c \quad\text{e}\quad a \neq b-c.
Sob essas hipóteses, \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 são três raízes distintas do polinômio característico.

Passo 5

Teorema: se uma matriz de ordem n tem n autovalores distintos (no corpo considerado), então ela é diagonalizável. Aqui n=3 e os três autovalores são distintos sob a condição dada. Logo A é diagonalizável.

Resposta

Qualquer matriz
A=\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\\\ 0 & b & c\\\\ 0 & c & b \end{pmatrix}
é diagonalizável sempre que
a \neq b + c \quad\text{e}\quad a \neq b - c.

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