A=\left[\begin{array}{lll} a & 0 & 0 \\\\ 0 & b & c \\\\ 0 & c & b \end{array}\right]
é diagonalizável se a \neq b \pm c.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\\\ 0 & b & c\\\\ 0 & c & b \end{pmatrix}
e pede para mostrar que ela é diagonalizável sempre que
a \neq b+c \quad\text{e}\quad a \neq b-c.
O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores: vamos calcular o polinômio característico, extrair os autovalores e usar que uma matriz de ordem 3 com três autovalores distintos é diagonalizável.
Para que \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 sejam todos distintos, exige-se
a \neq b+c \quad\text{e}\quad a \neq b-c.
Sob essas hipóteses, \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 são três raízes distintas do polinômio característico.
Passo 5
Teorema: se uma matriz de ordem n tem n autovalores distintos (no corpo considerado), então ela é diagonalizável. Aqui n=3 e os três autovalores são distintos sob a condição dada. Logo A é diagonalizável.
Resposta
Qualquer matriz
A=\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\\\ 0 & b & c\\\\ 0 & c & b \end{pmatrix}