Dados os vetores vec{a}=(-1,1,2) e vec{b}=(2,0,4), determine o vetor vec{v} tal que
\frac{2 \vec{v}}{3}-[2(\vec{v}+\vec{a})-\vec{b}]=\frac{\vec{b}}{4}-\frac{\vec{v}-\vec{a}}{2}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{a}=(-1,1,2) e \vec{b}=(2,0,4) e pede para determinar \vec{v} que satisfaz a equação vetorial
\frac{2\vec{v}}{3} - \bigl[2(\vec{v}+\vec{a}) - \vec{b}\bigr] = \frac{\vec{b}}{4} - \frac{\vec{v}-\vec{a}}{2}.
Para resolver, vamos usar álgebra vetorial: distribuir escalares, agrupar termos em \vec{v} de um lado e em \vec{a}, \vec{b} do outro, e depois substituir valores numéricos.

Passo 2

Desenvolvo o primeiro membro:
\frac{2\vec{v}}{3} - \bigl[2(\vec{v}+\vec{a}) - \vec{b}\bigr] = \frac{2\vec{v}}{3} - 2\vec{v} - 2\vec{a} + \vec{b} = -\frac{4}{3}\vec{v} - 2\vec{a} + \vec{b}.

Passo 3

Desenvolvo o segundo membro:
\frac{\vec{b}}{4} - \frac{\vec{v}-\vec{a}}{2} = \frac{\vec{b}}{4} - \frac{\vec{v}}{2} + \frac{\vec{a}}{2}.
A equação fica
-\frac{4}{3}\vec{v} - 2\vec{a} + \vec{b} = \frac{\vec{b}}{4} - \frac{\vec{v}}{2} + \frac{\vec{a}}{2}.
Reagrupando os termos em \vec{v} no lado esquerdo,
-\frac{4}{3}\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{v} -2\vec{a} + \vec{b} = \frac{\vec{b}}{4} + \frac{\vec{a}}{2},
e como -\tfrac{4}{3}+\tfrac{1}{2}=-\tfrac{5}{6}, resulta
-\frac{5}{6}\vec{v} - 2\vec{a} + \vec{b} = \frac{\vec{b}}{4} + \frac{\vec{a}}{2}.

Passo 4

Levo \vec{a} e \vec{b} para o lado direito:
-\frac{5}{6}\vec{v} = \frac{\vec{b}}{4} + \frac{\vec{a}}{2} + 2\vec{a} - \vec{b} = -\frac{3}{4}\vec{b} + \frac{5}{2}\vec{a}.
Multiplicando ambos os lados por -\tfrac{6}{5} para isolar \vec{v}:
\vec{v} = -\frac{6}{5}\Bigl(-\frac{3}{4}\vec{b} + \frac{5}{2}\vec{a}\Bigr) = \frac{9}{10}\vec{b} - 3\vec{a}.

Passo 5

Substituo \vec{a}=(-1,1,2) e \vec{b}=(2,0,4):
-3\vec{a}=(3,-3,-6), \quad \frac{9}{10}\vec{b}=\Bigl(\tfrac{9}{5},0,\tfrac{18}{5}\Bigr).
Somando coordenada a coordenada:
\vec{v} = \Bigl(3+\tfrac{9}{5},\,-3+0,\,-6+\tfrac{18}{5}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{24}{5},\,-3,\,-\tfrac{12}{5}\Bigr).

Resposta

\vec{v} = \bigl(\tfrac{24}{5},-3,-\tfrac{12}{5}\bigr)

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