Ache os autovalores e os autovetores de cada matriz abaixo B tal que B \cdot\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0\end{array}\right)^{t}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0\end{array}\right)^{t}, B \cdot\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0\end{array}\right)^{t}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 2\end{array}\right)^{t} \mathrm{e} B \cdot\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1\end{array}\right)^{t}=\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 1\end{array}\right)^{t}
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz B de ordem 3 cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica:
O conteúdo envolve obter autovalores (soluções de \det(B-\lambda I)=0) e, para cada autovalor, resolver (B-\lambda I)v=0 para encontrar os autovetores.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente B. Como cada coluna é a imagem de um vetor da base,
Da segunda linha: 2x_2+2x_3=0\implies x_2=-x_3.
Na primeira linha: 3x_1+2x_2+3x_3=0\implies 3x_1+x_3=0\implies x_1=-\tfrac{x_3}{3}.
Tomando x_3=3, obtemos
v_3=\begin{pmatrix}-1\\\ -3\\\ 3\end{pmatrix}.
Resposta
Autovalores e autovetores de B: \displaystyle \lambda_1=2,\;v_1=(1,0,0)^t \displaystyle \lambda_2=3,\;v_2=(5,1,1)^t \displaystyle \lambda_3=-1,\;v_3=(-1,-3,3)^t