Ache os autovalores e os autovetores de cada matriz abaixo
B tal que B \cdot\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0\end{array}\right)^{t}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0\end{array}\right)^{t}, B \cdot\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0\end{array}\right)^{t}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 2\end{array}\right)^{t} \mathrm{e} B \cdot\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1\end{array}\right)^{t}=\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 1\end{array}\right)^{t}

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz B de ordem 3 cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica:
B\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad B\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix},\quad B\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.
O conteúdo envolve obter autovalores (soluções de \det(B-\lambda I)=0) e, para cada autovalor, resolver (B-\lambda I)v=0 para encontrar os autovetores.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente B. Como cada coluna é a imagem de um vetor da base,
B=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico
\det(B-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 2 & 3\\\\ 0 & 1-\lambda & 2\\\\ 0 & 2 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(2-\lambda)\bigl[(1-\lambda)^2-4\bigr].
Como (1-\lambda)^2-4=\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1), os autovalores são
\lambda_1=2,\quad \lambda_2=3,\quad \lambda_3=-1.

Passo 4

Para \lambda_1=2, resolvemos
(B-2I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0.
As duas primeiras equações forçam x_2=0 e x_3=0, deixando x_1 livre. Tomando x_1=1, um autovetor é
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2=3, resolvemos
(B-3I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3\\\\ 0 & -2 & 2\\\\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0.
Da segunda linha vem -2x_2+2x_3=0\implies x_3=x_2.
Substituindo na primeira linha: -x_1+2x_2+3x_2=0\implies x_1=5x_2.
Tomando x_2=1, obtemos
v_2=\begin{pmatrix}5\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Para \lambda_3=-1, resolvemos
(B+I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3\\\\ 0 & 2 & 2\\\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0.
Da segunda linha: 2x_2+2x_3=0\implies x_2=-x_3.
Na primeira linha: 3x_1+2x_2+3x_3=0\implies 3x_1+x_3=0\implies x_1=-\tfrac{x_3}{3}.
Tomando x_3=3, obtemos
v_3=\begin{pmatrix}-1\\\ -3\\\ 3\end{pmatrix}.

Resposta

Autovalores e autovetores de B: \displaystyle \lambda_1=2,\;v_1=(1,0,0)^t \displaystyle \lambda_2=3,\;v_2=(5,1,1)^t \displaystyle \lambda_3=-1,\;v_3=(-1,-3,3)^t

Exercícios relacionados