Questão 3: Resolva os itens abaixo;
O vetor V=(1,-1,1) pode ser escrito como combinação linear dos vetores V_{1}=(1,0,1), V_{2}=(1,-1,0) e V_{3}=(0,-1,1) ?

Passo 1

O enunciado pergunta se o vetor V=(1,-1,1) pertence ao espaço gerado pelos vetores
V_{1}=(1,0,1),\quad V_{2}=(1,-1,0),\quad V_{3}=(0,-1,1),
ou seja, se existe uma combinação linear
V = a\,V_{1} + b\,V_{2} + c\,V_{3}.
Conteúdo: combinação linear e solução de sistemas lineares.

Passo 2

Escrevendo
a\,(1,0,1)+b\,(1,-1,0)+c\,(0,-1,1)=(1,-1,1)
obtemos o sistema
\begin{cases} a + b = 1,\\\\ -\,b - c = -1,\\\ a + c = 1. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação segue a=1-b. Da terceira segue
c = 1 - a = 1 - (1 - b) = b.
Substituindo em -b - c = -1
-\,b - b = -1 \quad\Longrightarrow\quad -2b = -1 \quad\Longrightarrow\quad b = \tfrac12.
Logo a = 1 - \tfrac12 = \tfrac12 e c = \tfrac12.

Passo 4

Há solução única (a,b,c) = (\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12), logo V está no span de \{V_{1},V_{2},V_{3}\}.

Resposta

Sim.
(1,-1,1) = \tfrac12\,(1,0,1) \;+\;\tfrac12\,(1,-1,0) \;+\;\tfrac12\,(0,-1,1).

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