Questão 3: Resolva os itens abaixo;
Os vetores X_{1}=(1,2,2,1), X_{2}=(2,1,1,2) e X_{3}=(3,0,0,3) são LI?

Passo 1

O enunciado pergunta se os vetores \;X_{1}=(1,2,2,1),\;X_{2}=(2,1,1,2) e \;X_{3}=(3,0,0,3) em \mathbb{R}^4 são linearmente independentes (LI).
O conteúdo aqui é independência linear e para resolver vamos verificar se existe combinação linear não trivial que dê o vetor zero.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica
a\,X_{1} \;+\; b\,X_{2} \;+\; c\,X_{3} \;=\;(0,0,0,0).
Isso gera um sistema de equações para a,b,c.

Passo 3

Traduzindo componente a componente, obtemos
\begin{cases} a + 2b + 3c = 0,\\\\ 2a + b + 0c = 0,\\\\ 2a + b + 0c = 0,\\\ a + 2b + 3c = 0. \end{cases}
Note que as equações da 2ª e da 3ª linha são idênticas, assim como a 1ª e a 4ª.

Passo 4

Da segunda equação segue
2a + b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -2a.
Substituindo na primeira equação:
a + 2(-2a) + 3c = 0 \quad\Longrightarrow\quad -3a + 3c = 0 \quad\Longrightarrow\quad c = a.
Tomando a=1, temos b=-2 e c=1, o que é uma solução não trivial.

Passo 5

Como existe solução não trivial (a,b,c)=(1,-2,1) que anula a combinação linear, os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores não são linearmente independentes.

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