Ache os autovalores e autovetores de cada matriz: A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] Passo 1O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. O conteúdo utilizado será o cálculo do polinômio característico para obter os autovalores e, em seguida, a resolução de (A-\lambda I)\mathbf{x}=0 para encontrar os autovetores. Passo 2Como A é triangular superior, o polinômio característico é \det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 3\\\\ 0 & 1-\lambda & 2\\\\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)^3. Logo, há um único autovalor \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3. Passo 3Para achar os autovetores associados a \lambda=1\), resolvemos \[(A - I)\mathbf{x}=0, \quad A - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, isto é, \begin{cases} 2x_2 + 3x_3 = 0,\\\\ 2x_3 = 0,\\\\ 0 = 0. \end{cases} Da segunda equação vem x_3=0\], e então da primeira \(x_2=0. O parâmetro livre é x_1. Passo 4Concluímos que o espaço próprio tem dimensão 1 (multiplicidade geométrica 1) e consiste de todos os vetores da forma \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = x_1\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad x_1\neq0. RespostaO único autovalor é \lambda=1 (multiplicidade algébrica 3) e os autovetores são todos os múltiplos de \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosAche os autovalores e autovetores de cada matriz: A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] Seja V=M(2,2) o espaço vetorial das matrizes. Para A, B \in V, defina \langle A, B\rangle=\operatorname{Tr}\left(B^{t} \cdot A\right) a) Mostre que \langle A, B\rangle é um produto interno. b) Em relação ao produto interno do ítem a), determine x de modo que o ângulo entre \left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right) e \left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & x\end{array}\right) tenha uma medida de 90^{\circ}. Ache os autovalores e autovetores de cada matriz: A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1\end{array}\right] Ache os autovalores e autovetores de cada matriz: A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -3 \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ -3 & 3 & 1\end{array}\right]