Ache os autovalores e autovetores de cada matriz:
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo utilizado será o cálculo do polinômio característico para obter os autovalores e, em seguida, a resolução de (A-\lambda I)\mathbf{x}=0 para encontrar os autovetores.

Passo 2

Como A é triangular superior, o polinômio característico é
\det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 3\\\\ 0 & 1-\lambda & 2\\\\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)^3.
Logo, há um único autovalor \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3.

Passo 3

Para achar os autovetores associados a \lambda=1\), resolvemos \[(A - I)\mathbf{x}=0, \quad A - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
isto é,
\begin{cases} 2x_2 + 3x_3 = 0,\\\\ 2x_3 = 0,\\\\ 0 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem x_3=0\], e então da primeira \(x_2=0. O parâmetro livre é x_1.

Passo 4

Concluímos que o espaço próprio tem dimensão 1 (multiplicidade geométrica 1) e consiste de todos os vetores da forma
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = x_1\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad x_1\neq0.

Resposta

O único autovalor é \lambda=1 (multiplicidade algébrica 3) e os autovetores são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

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