Ache os autovalores e autovetores de cada matriz:
A=\left[\begin{array}{cccc}2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 12 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 0 & 1\\\\ 12 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede os autovalores e autovetores. Vamos usar o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 para achar os autovalores e depois resolver (A-\lambda I)x=0 para cada \lambda.

Passo 2

Calculamos
\det(A-\lambda I)
por expansão na terceira linha. O resultado fatorado é
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)\,(2-\lambda)\,(\lambda-1)^2.
Logo os autovalores são
\lambda=3 (multiplicidade algébrica 1),
\lambda=2 (multiplicidade algébrica 1) e
\lambda=1 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Para \lambda=3\) resolvemos \((A-3I)x=0\). As equações são \[\begin{cases} -\,x_1 + x_4 = 0,\\\\ -\,x_2 + x_4 = 0,\\\\ 12\,x_1 = 0,\\\\ -\,x_2 - 3\,x_4 = 0. \end{cases}
Dessas vem x_1=0\], \(x_2=0, x_4=0 e x_3 livre. Podemos escolher
v_{3}=(0,0,1,0)^{T}.

Passo 4

Para \lambda=2\) resolvemos \((A-2I)x=0\). As equações são \[\begin{cases} x_4 = 0,\\\ x_4 = 0,\\\\ 12\,x_1 + x_3 = 0,\\\\ -\,x_2 - 2\,x_4 = 0. \end{cases}
Dessas vem x_4=0\], \(x_2=0 e x_3=-12\,x_1. Tomando x_1=1, obtemos
v_{2}=(1,0,-12,0)^{T}.

Passo 5

Para \lambda=1\) resolvemos \((A-I)x=0\). As equações são \[\begin{cases} x_1 + x_4 = 0,\\\ x_2 + x_4 = 0,\\\\ 12\,x_1 +2\,x_3 = 0,\\\\ -\,x_2 - x_4 = 0. \end{cases}
Dessas vem x_4=-x_1\], \(x_2=x_1, x_3=-6\,x_1. Tomando x_1=1, obtemos
v_{1}=(1,1,-6,-1)^{T}.
Como nesse caso há apenas uma família de vetores, a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 1.

Resposta

\lambda=3, autovetor v=(0,0,1,0)^{T}
\lambda=2, autovetor v=(1,0,-12,0)^{T}
\lambda=1 (algébrica 2, geométrica 1), autovetor v=(1,1,-6,-1)^{T}

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