Considere o espaço euclidiano
. Seja
um número inteiro. Mostre que a operação
define um produto interno em
.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço
e a aplicação
onde
é inteiro, e pede para mostrar que isso é um produto interno. Para isso, vamos verificar as três propriedades: simetria, bilinearidade e positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria trocando os pares de entrada:
Logo a forma é simétrica.
Passo 3
Mostramos agora a bilinearidade em, por exemplo, cada slot à esquerda. Sejam
,
e
. Então
Para homogeneidade, seja
:
Pela simetria, segue a linearidade também no segundo argumento.
Passo 4
Falta mostrar positividade definida. Para
, temos
Isso é um formulário quadrático com matriz
. Os menores principais são
e
(pois
). Assim a forma é positiva definida, ou seja,
sempre que
.
Resposta
A aplicação dada satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, logo é um produto interno em
.