Considere o espaço euclidiano \mathbb{R}^{2}. Seja k>1 um número inteiro. Mostre que a operação
\left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=k x_{1} x_{2}+x_{1} y_{2}+y_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}
define um produto interno em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço \mathbb{R}^2 e a aplicação
\langle (x_1,y_1),(x_2,y_2)\rangle = k\,x_1x_2 + x_1y_2 + y_1x_2 + y_1y_2,
onde k>1 é inteiro, e pede para mostrar que isso é um produto interno. Para isso, vamos verificar as três propriedades: simetria, bilinearidade e positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria trocando os pares de entrada:
\langle(x_2,y_2),(x_1,y_1)\rangle = k\,x_2x_1 + x_2y_1 + y_2x_1 + y_2y_1 = k\,x_1x_2 + x_1y_2 + y_1x_2 + y_1y_2 = \langle(x_1,y_1),(x_2,y_2)\rangle.
Logo a forma é simétrica.

Passo 3

Mostramos agora a bilinearidade em, por exemplo, cada slot à esquerda. Sejam
\mathbf{u}=(x_1,y_1), \mathbf{v}=(x_1',y_1') e \mathbf{w}=(x_2,y_2). Então
\langle \mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle = k(x_1+x_1')x_2 + (x_1+x_1')y_2 + (y_1+y_1')x_2 + (y_1+y_1')y_2
= \bigl(kx_1x_2 + x_1y_2 + y_1x_2 + y_1y_2\bigr) + \bigl(kx_1'x_2 + x_1'y_2 + y_1'x_2 + y_1'y_2\bigr) = \langle \mathbf{u},\mathbf{w}\rangle + \langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle.
Para homogeneidade, seja c\in\mathbb{R}:
\langle c\,\mathbf{u},\mathbf{w}\rangle = k(c\,x_1)x_2 + (c\,x_1)y_2 + (c\,y_1)x_2 + (c\,y_1)y_2 = c\bigl(kx_1x_2 + x_1y_2 + y_1x_2 + y_1y_2\bigr) = c\,\langle \mathbf{u},\mathbf{w}\rangle.
Pela simetria, segue a linearidade também no segundo argumento.

Passo 4

Falta mostrar positividade definida. Para \mathbf{v}=(x,y)\neq(0,0), temos
\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle = kx^2 + 2xy + y^2.
Isso é um formulário quadrático com matriz
\begin{pmatrix}k & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}. Os menores principais são
\Delta_1 = k>0 e
\Delta_2 = k\cdot1 - 1\cdot1 = k-1>0 (pois k>1). Assim a forma é positiva definida, ou seja, \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle>0 sempre que \mathbf{v}\neq(0,0).

Resposta

A aplicação dada satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, logo é um produto interno em \mathbb{R}^2.

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