(3,0 pontos) Imagine
firmas (
) que competem em um mercado escolhendo cada uma a sua respectiva quantidade produzida,
. O comportamento ótimo, maximizador de lucro, da firma
é determinado pela seguinte equação:
onde
é um parâmetro proveniente da demanda de mercado e
é uma medida de custo da firma. Note que
e
são iguais para todas as firmas, assim como a forma funcional da equação (1). Sabendo que, em equilíbrio, todas as firmas comportam-se otimamente, encontre as quantidades produzidas,
, via regra de Cramer.
Passo 1
O enunciado define um oligopólio de
firmas idênticas que escolhem quantidades
. A condição de ótimo de cada firma
é
onde
e
são dados comuns. Nosso objetivo é montar esse sistema linear em forma matricial e usar a regra de Cramer para encontrar explicitamente cada
. O conteúdo necessário é teoria de sistemas lineares, determinantes e regra de Cramer.
Passo 2
Escrevendo as
equações em forma matricial, note que para todo
temos
Isto equivale a
Passo 3
Para aplicar Cramer precisamos de
. Observe que
onde
é a identidade e
é a matriz de todos uns. Como
é de posto
, vale a fórmula de matriz de posto um:
Logo
Passo 4
Vamos calcular
, isto é, o determinante da matriz que se obtém de
substituindo a
-ésima coluna pelo vetor
. Seja
. Note que podemos fatorar
dessa coluna, obtendo
onde
é
com a coluna
normalizada para o vetor de todos
. Em
, subtraia essa coluna
de todas as outras colunas: isso não altera o determinante. O que resta é uma matriz cujas colunas
têm um único
na linha
e zeros em outros lugares, e a coluna
continua sendo o vetor de uns. Em seguida, permute essa coluna de uns para a última posição (ciclo de comprimento
, sinal
). O resultado é uma matriz que, por expansão, tem determinante
vezes o sinal do ciclo que liga col
linha
, col
linha
,···, col n
linha
, i.e. sinal também
. Assim
e portanto
Passo 5
Pela regra de Cramer,
para todo
.