(3,0 pontos) Imagine n=\max \{A, B, C, D, E\} firmas ( i=1, \ldots, n ) que competem em um mercado escolhendo cada uma a sua respectiva quantidade produzida, q_{i}. O comportamento ótimo, maximizador de lucro, da firma i é determinado pela seguinte equação:
a-2 q_{i}-\sum_{j \neq i} q_{j}-c=0
onde a>0 é um parâmetro proveniente da demanda de mercado e c>0 é uma medida de custo da firma. Note que a e c são iguais para todas as firmas, assim como a forma funcional da equação (1). Sabendo que, em equilíbrio, todas as firmas comportam-se otimamente, encontre as quantidades produzidas, q_{1}, \ldots, q_{n}, via regra de Cramer.

Passo 1

O enunciado define um oligopólio de n firmas idênticas que escolhem quantidades q_{1},\dots,q_{n}. A condição de ótimo de cada firma i é
a - 2q_{i} - \sum_{j\neq i}q_{j} - c = 0,
onde a>0 e c>0 são dados comuns. Nosso objetivo é montar esse sistema linear em forma matricial e usar a regra de Cramer para encontrar explicitamente cada q_{i}. O conteúdo necessário é teoria de sistemas lineares, determinantes e regra de Cramer.

Passo 2

Escrevendo as n equações em forma matricial, note que para todo i temos
2q_{i} + \sum_{j\neq i}q_{j} = a - c.
Isto equivale a
\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 1 & \cdots & 1\\\\ 1 & 2 & \cdots & 1\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ 1 & 1 & \cdots & 2 \end{pmatrix}}_{A} \begin{pmatrix}q_{1}\q_{2}\\vdots\q_{n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a-c\a-c\\vdots\a-c\end{pmatrix}.

Passo 3

Para aplicar Cramer precisamos de \det(A). Observe que
A = I_{n} + J_{n},
onde I_{n} é a identidade e J_{n} é a matriz de todos uns. Como J_{n} é de posto 1, vale a fórmula de matriz de posto um:
\det(I_{n}+J_{n}) = 1 + \operatorname{tr}(J_{n}) = 1 + n.
Logo
\det(A) = n + 1.

Passo 4

Vamos calcular \det(A_{i}), isto é, o determinante da matriz que se obtém de A substituindo a i-ésima coluna pelo vetor (a-c,\dots,a-c)^{T}. Seja D_i=\det(A_i). Note que podemos fatorar (a-c) dessa coluna, obtendo
D_i \;=\;(a-c)\,\det\text{(C)},
onde C é A_i com a coluna i normalizada para o vetor de todos 1. Em C, subtraia essa coluna i de todas as outras colunas: isso não altera o determinante. O que resta é uma matriz cujas colunas j\neq i têm um único 1 na linha j e zeros em outros lugares, e a coluna i continua sendo o vetor de uns. Em seguida, permute essa coluna de uns para a última posição (ciclo de comprimento n, sinal (-1)^{n-1}). O resultado é uma matriz que, por expansão, tem determinante (-1)^{n-1} vezes o sinal do ciclo que liga col 1\tolinha 2, col 2\tolinha 3,···, col n \tolinha 1, i.e. sinal também (-1)^{n-1}. Assim
\det\text{(C)} = (-1)^{n-1}\cdot(-1)^{n-1} = 1,
e portanto
D_i = (a-c)\cdot 1 = a-c.

Passo 5

Pela regra de Cramer,
q_{i} \;=\;\frac{\det(A_i)}{\det(A)} \;=\;\frac{a-c}{n+1},
para todo i=1,\dots,n.

Resposta

q_{1}=\cdots=q_{n}=\frac{a-c}{n+1}.

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