Considere o espaço euclidiano \mathbb{R}^{n}. Mostre que a operação
\left\langle\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right\rangle=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots+x_{n} y_{n}
define um produto interno em \mathbb{R}^{n}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: estamos em \mathbb{R}^n, definimos
\bigl\langle(x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n)\bigr\rangle = x_1y_1 + \cdots + x_ny_n
e queremos mostrar que essa operação satisfaz os três axiomas de um produto interno:
  1. simetria,
  2. linearidade no primeiro argumento,
  3. positividade definida.

Passo 2

(Propriedade de simetria) Para quaisquer x=(x_1,\dots,x_n) e y=(y_1,\dots,y_n) vale
\bigl\langle x,y\bigr\rangle = x_1y_1 + \cdots + x_ny_n = y_1x_1 + \cdots + y_nx_n = \bigl\langle y,x\bigr\rangle.
Logo \langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle.

Passo 3

(Linearidade no primeiro argumento) Sejam u=(u_1,\dots,u_n), v=(v_1,\dots,v_n) em \mathbb{R}^n e a,b\in\mathbb{R}. Então
\bigl\langle a\,u + b\,v,\;y\bigr\rangle = \sum_{i=1}^n (a\,u_i + b\,v_i)\,y_i = a\sum_{i=1}^n u_i y_i + b\sum_{i=1}^n v_i y_i = a\bigl\langle u,y\bigr\rangle + b\bigl\langle v,y\bigr\rangle.

Passo 4

(Positividade definida) Para qualquer x=(x_1,\dots,x_n) temos
\bigl\langle x,x\bigr\rangle = x_1^2 + \cdots + x_n^2 \ge 0.
Se \langle x,x\rangle = 0, então x_1^2=\cdots=x_n^2=0, isto é, x_1=\cdots=x_n=0 e x=0.

Resposta

A operação \langle\cdot,\cdot\rangle satisfaz simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida, logo define um produto interno em \mathbb{R}^n.

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