Considere o espaço euclidiano
. Mostre que a operação
define um produto interno em
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: estamos em
, definimos
e queremos mostrar que essa operação satisfaz os três axiomas de um produto interno:
- simetria,
- linearidade no primeiro argumento,
- positividade definida.
Passo 2
(Propriedade de simetria) Para quaisquer
e
vale
Logo
.
Passo 3
(Linearidade no primeiro argumento) Sejam
,
em
e
. Então
Passo 4
(Positividade definida) Para qualquer
temos
Se
, então
, isto é,
e
.
Resposta
A operação
satisfaz simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida, logo define um produto interno em
.