(3,0 pontos) Se \left\{\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right\} formam um conjunto de vetores linearmente independentes, então as diferenças \boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3} e \boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2} são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Prove.

Passo 1

O enunciado diz que \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{v}_{3}\} é um conjunto de vetores linearmente independentes e define
\boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3},
\boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3} e
\boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2}.
O objetivo é decidir se \{\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{3}\} é linearmente dependente ou independente, e provar a afirmação usando a definição de dependência linear.

Passo 2

Pela definição, os vetores são linearmente dependentes se existir uma combinação não trivial
a_{1}\,\boldsymbol{u}_{1}+a_{2}\,\boldsymbol{u}_{2}+a_{3}\,\boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{0}
com algum (a_{1},a_{2},a_{3})\neq(0,0,0). Observe que
\boldsymbol{u}_{2}-\boldsymbol{u}_{1} =(\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3})-(\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3}) =\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2} =\boldsymbol{u}_{3}.
Reescrevendo, temos
\boldsymbol{u}_{2}-\boldsymbol{u}_{1}-\boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{0}.
Essa é uma combinação linear não trivial (coeficientes a_{1}=-1, a_{2}=1, a_{3}=-1) que dá o vetor nulo.

Resposta

Os vetores \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{3} são linearmente dependentes.

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