(3,0 pontos) Se
formam um conjunto de vetores linearmente independentes, então as diferenças
e
são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Prove.
Passo 1
O enunciado diz que
é um conjunto de vetores linearmente independentes e define
,
e
.
O objetivo é decidir se é linearmente dependente ou independente, e provar a afirmação usando a definição de dependência linear.
O objetivo é decidir se
Passo 2
Pela definição, os vetores são linearmente dependentes se existir uma combinação não trivial
com algum
. Observe que
Reescrevendo, temos
Essa é uma combinação linear não trivial (coeficientes
,
,
) que dá o vetor nulo.
Resposta
Os vetores
são linearmente dependentes.