Ache os autovalores e autovetores de cada matriz:
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é teoria de autovalores e autovetores: vamos montar o polinômio característico via \det(A-\lambda I)=0 e depois, para cada autovalor \lambda, resolver (A-\lambda I)x=0.]

Passo 2

Calculamos o determinante de A-\lambda I:
\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix}1-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & 1-\lambda\end{vmatrix} = (1-\lambda)^2 - 1.]

Passo 3

Igualamos o polinômio característico a zero e resolvemos:
(1-\lambda)^2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2 - 2\lambda = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda(\lambda - 2) = 0.
Portanto os autovalores são
\lambda_1 = 0 e \lambda_2 = 2.

Passo 4

Para \lambda_2 = 2 resolvemos (A - 2I)x = 0:
A - 2I = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},
a equação -x_1 + x_2 = 0 implica x_1 = x_2.
Um autovetor associado é
v_2 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_1 = 0 resolvemos A x = 0:
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},
a equação x_1 + x_2 = 0 implica x_1 = -x_2.
Um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ -1\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
\lambda_1 = 0 com autovetor v_1 = (1,\,-1)^T,
\lambda_2 = 2 com autovetor v_2 = (1,\,1)^T.

Exercícios relacionados