Considere
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a
.
a) Mostre que
define um produto interno em
.
b) Calculo o ângulo entre os vetores
e
.
a) Mostre que
b) Calculo o ângulo entre os vetores
Passo 1
O enunciado pede duas coisas em
:
- Mostrar que
satisfaz as três propriedades de produto interno (linearidade em uma entrada, simetria e positividade definida).
2. Calcular o ângulo entre e
.
Para isso, vamos usar a teoria de espaços com produto interno: em particular
– linearidade e simetria de integrais;
– positividade de para
;
– definição de norma e relação
2. Calcular o ângulo entre
Para isso, vamos usar a teoria de espaços com produto interno: em particular
– linearidade e simetria de integrais;
– positividade de
– definição de norma
Passo 2
Verificamos linearidade em, digamos, primeira entrada, e simetria. Sejam
e
. Então
e trocando
e
dentro da integral obtemos
ou seja, é simétrico.
Passo 3
Falta mostrar positividade definida: para
não nulo,
é um polinômio não identicamente zero, logo
é contínuo e não-negativo em
e estritamente positivo em algum ponto. Assim
Isso prova que
é um produto interno em
.
Passo 4
Agora calculamos os coeficientes para o ângulo entre
Primeiro o produto interno:
Em seguida as normas:
Passo 5
O cosseno do ângulo é
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