Considere V=\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n.
a) Mostre que
\langle p(t), q(t)\rangle=\int_{0}^{1} p(t) q(t) d t
define um produto interno em V.
b) Calculo o ângulo entre os vetores p(t)=1-t e q(t)=1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas em V=\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}):
  1. Mostrar que
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}p(t)\,q(t)\,dt
satisfaz as três propriedades de produto interno (linearidade em uma entrada, simetria e positividade definida).
2. Calcular o ângulo entre p(t)=1-t e q(t)=1.
Para isso, vamos usar a teoria de espaços com produto interno: em particular
– linearidade e simetria de integrais;
– positividade de \int_{0}^{1}p(t)^2dt para p\not\equiv0;
– definição de norma \|p\|=\sqrt{\langle p,p\rangle} e relação
\cos\theta=\frac{\langle p,q\rangle}{\|p\|\;\|q\|}.

Passo 2

Verificamos linearidade em, digamos, primeira entrada, e simetria. Sejam p,r,q\in V e \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Então
\langle \alpha p+\beta r,q\rangle =\int_{0}^{1}\bigl(\alpha p(t)+\beta r(t)\bigr)\,q(t)\,dt =\alpha\int_{0}^{1}p(t)q(t)\,dt+\beta\int_{0}^{1}r(t)q(t)\,dt =\alpha\langle p,q\rangle+\beta\langle r,q\rangle,
e trocando p e q dentro da integral obtemos
\langle p,q\rangle =\int_{0}^{1}p(t)q(t)\,dt =\int_{0}^{1}q(t)p(t)\,dt =\langle q,p\rangle,
ou seja, é simétrico.

Passo 3

Falta mostrar positividade definida: para p\in V não nulo, p(t) é um polinômio não identicamente zero, logo \bigl(p(t)\bigr)^2 é contínuo e não-negativo em [0,1] e estritamente positivo em algum ponto. Assim
\langle p,p\rangle =\int_{0}^{1}p(t)^2\,dt >0 \quad\text{sempre que }p\not\equiv0.
Isso prova que \langle\cdot,\cdot\rangle é um produto interno em V.

Passo 4

Agora calculamos os coeficientes para o ângulo entre
p(t)=1-t \quad\text{e}\quad q(t)=1.
Primeiro o produto interno:
\langle p,q\rangle =\int_{0}^{1}(1-t)\cdot1\,dt =\int_{0}^{1}(1-t)\,dt =\Bigl[t-\tfrac{t^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} =1-\tfrac12 =\tfrac12.
Em seguida as normas:
\|q\| =\sqrt{\langle q,q\rangle} =\sqrt{\int_{0}^{1}1^{2}\,dt} =\sqrt{1} =1,
\|p\| =\sqrt{\langle p,p\rangle} =\sqrt{\int_{0}^{1}(1-t)^{2}\,dt} =\sqrt{\int_{0}^{1}(1-2t+t^{2})\,dt} =\sqrt{\Bigl[t-t^{2}+\tfrac{t^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1}} =\sqrt{1-1+\tfrac13} =\sqrt{\tfrac13} =\tfrac{1}{\sqrt3}.

Passo 5

O cosseno do ângulo é
\cos\theta =\frac{\langle p,q\rangle}{\|p\|\;\|q\|} =\frac{\tfrac12}{\tfrac{1}{\sqrt3}\cdot1} =\frac12\sqrt3 =\frac{\sqrt3}{2}.
Logo
\theta =\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) =\frac{\pi}{6}.

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{6}.

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