Seja V=M(2,2) o espaço vetorial das matrizes. Para A, B \in V, defina
\langle A, B\rangle=\operatorname{Tr}\left(B^{t} \cdot A\right)
a) Mostre que \langle A, B\rangle é um produto interno.
b) Em relação ao produto interno do ítem a), determine x de modo que o ângulo entre \left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right) e \left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & x\end{array}\right) tenha uma medida de 90^{\circ}.

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial V=M(2,2) sobre \mathbb{R} e define, para A,B\in V,
\langle A,B\rangle = \operatorname{Tr}\bigl(B^t A\bigr).
No item (a) devemos verificar que \langle\cdot,\cdot\rangle satisfaz as três propriedades de produto interno: bilinearidade, simetria e positividade definida. No item (b) queremos encontrar x de modo que o ângulo entre
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & 1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & x\end{pmatrix}
seja de 90^\circ, isto é, \langle A,B\rangle=0.

Passo 2

Mostramos simetria e bilinearidade. Para quaisquer A,B,C\in V e escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}:
  1. Bilinearidade em A:
\langle \alpha A + \beta C,\;B\rangle =\operatorname{Tr}\bigl(B^t(\alpha A+\beta C)\bigr) =\alpha\,\operatorname{Tr}(B^tA)+\beta\,\operatorname{Tr}(B^tC) =\alpha\langle A,B\rangle+\beta\langle C,B\rangle.
  1. Simetria: usando \operatorname{Tr}(X)=\operatorname{Tr}(X^t),
\langle A,B\rangle =\operatorname{Tr}(B^tA) =\operatorname{Tr}\bigl((B^tA)^t\bigr) =\operatorname{Tr}(A^tB) =\langle B,A\rangle.

Passo 3

Mostramos positividade definida. Para A\in V:
\langle A,A\rangle =\operatorname{Tr}(A^tA).
Se A=(a_{ij}), então
A^tA =\bigl(\sum_{k}a_{ki}a_{kj}\bigr)_{ij}
e
\operatorname{Tr}(A^tA) =\sum_{i,k}a_{ki}^2\ge0,
com igualdade somente se todos a_{ki}=0, ou seja, A=0. Logo é produto interno.

Passo 4

Para ortogonalidade queremos \langle A,B\rangle=0. Calculamos
B^t =\begin{pmatrix}1 & 2\\\ -1 & x\end{pmatrix}, \quad B^tA =\begin{pmatrix}1 & 2\\\ -1 & x\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5 & 1\\\ 2x-1 & x+1\end{pmatrix}.
Então
\langle A,B\rangle =\operatorname{Tr}(B^tA) =5+(x+1) =x+6.
Impondo x+6=0 segue x=-6.

Resposta

\displaystyle x=-6.

Exercícios relacionados