Qual o valor de a \in \mathbb{R} torna a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & a & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right]
diagonalizável?
(A) \mathrm{a}=0
(C) a=-1
(D) a=1
(B) \mathrm{a}=2
(E) N.D.A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & a & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
e pergunta para quais valores de a\in\mathbb{R} ela é diagonalizável. O conteúdo principal envolve autovalores de matrizes triangulares e a igualdade entre multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor.

Passo 2

Como A é triangular, seus autovalores estão na diagonal. Logo
\lambda_1=1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda_2=2\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé
O autovalor \lambda_2=2 tem multiplicidade algébrica 1, portanto sempre sua multiplicidade geométrica é 1 e não impede a diagonalização.

Passo 3

Para \lambda_1=1 calculamos o espaço próprio resolvendo (A-I)v=0.
A-I=\begin{pmatrix} 0 & a & -1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad v=(x,y,z)^\mathsf{T}.
Isso gera o sistema
a\,y - z = 0, \quad z = 0.
Da segunda equação vem z=0. Substituindo na primeira: a\,y=0.
  • Se a\neq0, então y=0 e x fica livre, dando dimensão do espaço próprio igual a 1 (menor que 2).
  • Se a=0, então y e x são livres, dando dimensão igual a 2, que coincide com a multiplicidade algébrica.

Passo 4

A matriz A é diagonalizável se, para todo autovalor, a multiplicidade geométrica igualar a algébrica. Isso só ocorre quando a=0.

Resposta

(A) a=0

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