Determine quais das seguintes funções são transformações lineares (Justifique sua resposta):
f: \mathbb{M}_{2} \rightarrow \mathbb{R} tal que f\left(\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]\right)=\operatorname{det}\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
f\colon \mathbb{M}_{2}\to \mathbb{R}, \quad f\bigl(\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\bigr) =\det\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}
é uma transformação linear. Para isso vamos usar o seguinte conteúdo:
– Definição de transformação linear.
– Propriedades de determinante (homogeneidade e aditividade).

Passo 2

Recordando a definição, uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se e somente se, para todo X,Y no domínio e todo escalar c, vale
\text{(i) }T(X+Y)=T(X)+T(Y), \qquad \text{(ii) }T(cX)=c\,T(X).

Passo 3

Teste da aditividade. Seja
X=Y=I=\begin{bmatrix}1&0\\\ 0&1\end{bmatrix}.
Então
f(X+Y)=f(2I)=\det(2I)=2^2\det(I)=4\cdot1=4,
por outro lado
f(X)+f(Y)=\det(I)+\det(I)=1+1=2.
Como 4\neq2, a condição f(X+Y)=f(X)+f(Y) falha, logo f não é linear.

Passo 4

Podemos também ver pela homogeneidade que, para um escalar c qualquer e uma matriz A,
f(cA)=\det(cA)=c^2\det(A)
que em geral não é igual a c\det(A)=c\,f(A), exceto em casos especiais. Isso confirma mais uma vez que f não satisfaz a condição de linearidade.

Resposta

A função f não é transformação linear, pois não satisfaz nem a aditividade nem a homogeneidade exigidas.

Exercícios relacionados