Determine quais das seguintes funções são transformações lineares (Justifique sua resposta):
tal que
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é uma transformação linear. Para isso vamos usar o seguinte conteúdo:
– Definição de transformação linear.
– Propriedades de determinante (homogeneidade e aditividade).
– Propriedades de determinante (homogeneidade e aditividade).
Passo 2
Recordando a definição, uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se e somente se, para todo
no domínio e todo escalar
, vale
Passo 3
Teste da aditividade. Seja
Então
por outro lado
Como
, a condição
falha, logo
não é linear.
Passo 4
Podemos também ver pela homogeneidade que, para um escalar
qualquer e uma matriz
,
que em geral não é igual a
, exceto em casos especiais. Isso confirma mais uma vez que
não satisfaz a condição de linearidade.
Resposta
A função
não é transformação linear, pois não satisfaz nem a aditividade nem a homogeneidade exigidas.