Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
[cc3 & -1 -1 & 3]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 3 & -1 -1 & 3
e pede os autovalores lambda e os autovetores v correspondentes. Para isso, vamos usar o polinômio característico det(A - lambda I)=0 para achar as lambda, e em seguida resolver (A - lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A. A matriz A - lambda I é
A - lambda I = 3-lambda & -1 -1 & 3-lambda
Logo,
det(A - lambda I) = (3-lambda)(3-lambda) - (-1)(-1) = (3-lambda)^2 - 1

Passo 3

Igualando o determinante a zero, temos
(3-lambda)^2 - 1 = 0
ou seja,
(3-lambda)^2 = 1
Dessa equação seguem duas soluções:
3 - lambda = 1 Longrightarrow lambda1 = 2,
3 - lambda = -1 Longrightarrow lambda2 = 4

Passo 4

Para lambda1 = 2, resolvemos
(A - 2I)v = 3-2 & -1 -1 & 3-2 x y = 1 & -1 -1 & 1 x y = 0
Isso dá o sistema
x - y = 0, -,x + y = 0,
cuja solução é y = x. Escolhendo x=1, obtemos o autovetor
v1 = 1 1

Passo 5

Para lambda2 = 4, resolvemos
(A - 4I)v = 3-4 & -1 -1 & 3-4 x y = -1 & -1 -1 & -1 x y = 0
Isso dá o sistema
-,x - y = 0, -,x - y = 0,
ou seja, x + y = 0. Escolhendo x=1, obtemos y=-1 e o autovetor
v2 = 1 -1

Resposta

Os autovalores são
lambda1 = 2, lambda2 = 4
com autovetores associados
v1 = 1 1 para lambda1 = 2, v2 = 1 -1 para lambda2 = 4

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